【精品】高一数学 2.4反函数（备课资料） 大纲人教版必修

●备课资料一、反函数的学习因反函数是函数知识中重要的一部分内容，我们若能从函数的角度去理解反函数的概念，则一定能从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.1.明确“函数与反函数”的关系(1)一个函数具有反函数的充要条件是确定这个函数的映射是从定义域到值域上的一一映射.(2)对于任一函数 f(x)不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数 f(x)与它的反函数是互为反函数.(3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域.(4)一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.(5)原函数与其反函数在对应区间上的单调性是一致的.2.深入学习对“反函数”的求法[例]求下列函数的反函数(1)y＝baxbax(2)y＝)0(2)0(222xxxxxx（1）分析：由于 a、B 不定，故须分类讨论：当 a＝0，b≠0 时，y＝－1，此时不存在反函数当 a≠0，b＝0 时，y＝1（x≠0），此时不存在反函数.当 a≠0，b≠0 时，函数 y＝baxbax的值域是 y∈{y∈R｜y≠1}由 y＝baxbax解得：x＝ayabyb (a≠0，y≠1)∴当 a≠0，b≠0 时，函数 y＝baxbax的反函数是：y＝ayabyb（x≠1）评述：熟练掌握求反函数的基本步骤是准确求出函数的反函数的必要条件.（2）分析：求分段函数的反函数时，先在各段求出相应的反函数，再将其合并.解：当 x≥0 时，y＝x2＋2x＝（x＋1）2－1∴x＝－1＋y1 x≥0 ∴y＝x2＋2x≥0∴当 x≥0 时，此段函数的反函数是y＝－1＋1x（x≥0）当 x＜0 时，y＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1网站：http://www.zbjy.cn 论坛：http://bbs.zbjy.cn 版权所有@中报教育网1∴x＝1－y1 x＜0，∴y＝－x2＋2x＜0∴当 x＜0 时，此段函数的反函数是y＝1－x1（x＜0）综上所述：所给函数的反函数为y＝0 110 11xxxx 评述：(1)在求分段函数的每一段相应的反函数时,仍严格按照求反函数的基本步骤进行.（2）分段函数的反函数被求的过程，能让我们体会到“先分后合”的思想在数学中的渗透作用.3.灵活应用“反函数”于解题中［例 1］求函数 y＝521xx 的值域分析：此题除用前面介绍的“分离系数”法求得其值域外，也可通过求其反函数的定义域得到原函数的值域这一途径.解：由 y＝521xx 得 x≠－ 25∴有：y（2x＋5）＝1－x∴x＝1251yy∴反函数为 y＝1251xx （x∈R 且 x≠－ 21 ）；因而此函数 y＝521xx ...