§8.7 立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直2014 高考会这样考 1.利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；2.能用向量方法证明线面的平行或垂直；3.考查用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题．复习备考要这样做 1.理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；4.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．1． 用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点 A 和一个向量 a，再任给一个实数 t，以 A 为起点作向量AP＝ta，则此向量方程叫做直线 l 的参数方程．向量 a 称为该直线的方向向量．(2)对空间任一确定的点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在唯一的实数 t，满足等式OP＝(1－t)OA＋tOB，叫做空间直线的向量参数方程．2． 用向量证明空间中的平行关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1∥l2(或 l1与 l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v2，则 l∥α 或l⊂α⇔存在两个实数 x，y，使 v＝xv1＋yv2.(3)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l∥α 或 l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1，u2，则 α∥β⇔u1 ∥u2.3． 用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α⇔v∥u.(3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1和 u2，则 α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.[难点正本 疑点清源]利用空间向量解决立体几何中的平行问题(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线．(2)证明线面平行的方法① 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内．② 证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，也要说明直线不在平面内．③ 利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．同时要注意强调直线不在平面内．1． 两不重合直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，则 l1与 l2的位置关系是__________．答案 平行解析 v2＝－2v1，∴v1∥v2，又 l1与 l2不重合...
