2.2.1 双曲线及其标准方程问题导学一、双曲线定义的应用活动与探究 1若一动点 P(x，y)到两个定点 A(－2,0)，B(2,0)的距离之差的绝对值为定值 a，讨论点 P 的轨迹．迁移与应用1．已知双曲线的方程是－＝1，点 P 在双曲线上，且到其中一个焦点 F1的距离为 10，点 N 是 PF1的中点，求|ON|的大小(O 为坐标原点)．2．设 P 为双曲线－＝1 上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于 c－a)．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件 ||PF1|－|PF2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．二、双曲线的标准方程及应用活动与探究 2设双曲线与椭圆＋＝1 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点 A 的纵坐标为 4，求此双曲线的方程．迁移与应用若椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为( )A．m－a B．m－bC．m2－a2 D．－(1)求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)，通过解方程组即可确定 m，n，避免了讨论．(2)待定系数法求双曲线标准方程的步骤：① 作判断：根据条件判断双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．② 设方程：根据上述判断设方程为－＝1 或－＝1(a＞0，b＞0)．③ 寻关系：根据已知条件列出关于 a，b，c 的方程组．④ 得方程：解方程组，将 a，b 代入所设方程即为所求．三、与双曲线有关的轨迹问题活动与探究 3如图，在△ABC 中，已知|AB|＝4，且三内角 A，B，C 满足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．迁移与应用设圆 C 与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4 中的一个内切，另一个外切，求 C 的圆心轨迹 L 的方程．(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，根据双曲线的定义，从而得出对应的...
