课时分层作业五十六双曲线一、选择题(每小题5分,共25分)1.双曲线-=1的渐近线方程是()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选C.双曲线-=1中a=3,b=2,双曲线的渐近线方程为y=±x.2.(2018·石家庄模拟)若双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P为双曲线M上一点,且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,则双曲线M的离心率为()A.3B.2C.D.【解析】选D.P为双曲线M上一点,且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=10,则双曲线的离心率为:e==.3.(2018·彭州模拟)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P,Q,若|PQ|=2|QF|,∠PQF=60°,则该双曲线的离心率为()A.B.1+C.2+D.4+2【解析】选B.∠PQF=60°,因为|PQ|=2|QF|,所以∠PFQ=90°,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q,由对称性可知,四边形F1PFQ为矩形,且|F1F|=2|QF|,|QF1|=|QF|,故e====+1.【变式备选】(2018·齐齐哈尔模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,半径为a的圆与双曲线C的某条渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ≥,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选A.过A作AB⊥PQ,垂足为B,则B为PQ的中点,即∠PAB≥,点A到渐近线y=x的距离为:|AB|=,cos∠PAB≤,即≤,得到≤.所以≤×,≤,e≤,又e>1,所以双曲线C的离心率的取值范围为.4.已知双曲线C:x2-=1,经过点M的直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB的中点,则直线l的方程为()A.8x-y-15=0B.8x+y-17=0C.4x+y-9=0D.4x-y-7=0【解析】选A.设点A,B,则有两式作差得-=0,即直线l的斜率k===8,所以直线l的方程为y-1=8,即8x-y-15=0.【变式备选】已知双曲线C:x2-=1,经过点M的直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB的中点,则直线l的方程为________.【解析】设点A,B,则有两式作差得-=0,即直线l的斜率k===1,所以直线l的方程为y-3=x-1,即y=x+2.答案:y=x+25.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为()A.5B.5+4C.7D.9【解析】选D.如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0).由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|.由图可得,当A,P,E三点共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|的最小值为9.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为________.【解析】因为e==,F2(5,0),所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以双曲线C的标准方程为-=1.答案:-=1【误区警示】利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线-=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0).7.已知双曲线经过点,其一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为________.【解析】设双曲线方程为:mx2+ny2=1(mn<0),由题意可知:解得:则双曲线的标准方程为:-y2=1.答案:-y2=1【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1P61习题A组T2(1)“求焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2)的双曲线的标准方程”.【变式备选】与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点A的双曲线的方程为________.【解析】设方程为-=λ(λ≠0),代入点A(,2),可得-=λ,所以λ=-9,所以双曲线的方程为-=1.答案:-=18.(2018·唐山模拟)P是双曲线-=1右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________.【解析】(利用定义解三角形)如图,内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|,|MB|,|MC|,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质则有:|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|,所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以M的横坐标为a.答案:a三、解答题(每小题10分,共20分)9.直线l:y=(x-2)和双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且|AB|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线C的离心率.(2)求双曲线C的方程.【解析】(1)设双曲线C:-=1过一、三象限的渐近线l1:-=0的倾斜角为α.因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为P,l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行,记l2与y轴的交点为Q.依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α...
