第43讲圆的方程[解密考纲]对圆的方程的考查以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(A)A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析设对称圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A．2．圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是(A)A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析设圆心坐标为(0，a)，则＝1，∴a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.3．以(1,0)为圆心，且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程为(C)A．x2＋2＝B．x2＋(y－1)2＝C．(x－1)2＋y2＝D．(x－2)2＋y2＝解析由已知得圆的半径长等于点(1,0)到直线3x＋4y＝0的距离，即r＝＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝.4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是(A)A．3－B．3＋C．3－D．解析圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离d＝＝，则点C到直线AB的最短距离为－1.又因为|AB|＝2，所以△ABC面积的最小值为×2×＝3－.5．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为(B)A．B．10C．9D．5＋2解析原方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，为半径的圆．设x－2y＝b，则x－2y可看作直线x－2y＝b在x轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，∴b＝10或b＝0，∴x－2y的最大值是10.6．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，右焦点F(c,0)，方程ax2－bx－c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝8的位置关系为(C)A．点P在圆外B．点P在圆上C．点P在圆内D．不确定解析∵e2＝1＋2＝2，∴2＝1，∴＝1，∴a＝b，c＝a，∴方程ax2－bx－c＝0可化为x2－x－＝0.∴x1＋x2＝1，x1·x2＝－.∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋2<8，∴点P在圆内．故选C．二、填空题7．圆心在直线2x－y＝3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1__.解析依题意设圆心为(a,2a－3)，因为圆与两坐标轴均相切，所以|a|＝|2a－3|，解得a＝1或a＝3，即r＝1或3，故圆的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.8．若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆C的方程是__x2＋y2－2x－4y＋4＝0__.解析设C(a，b)，因为已知圆的圆心为A(－1,0)，由点A，C关于直线x＋y－1＝0对称，得解得又因为圆的半径是1，所以圆C的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.9．若过点P(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是(∞－，－3)∪.解析圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a.因为过点P(a，a)能作圆的两条切线，所以点P在圆的外部，即解得a<－3或1
