课时达标第13讲变化率与导数、导数的计算[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算，所以它是导数中的基础；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．一、选择题1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝(D)A．2B．0C．－2D．－4解析f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.2．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝(D)A．0B．26C．29D．212解析∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，∴f′(x)＝x′(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)·…·(x－a8)]′＝(x－a1)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)·…·(x－a8)]′，∴f′(0)＝(－a1)·(－a2)·…·(－a8)＋0＝a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.3．已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝f(x)，则tan2x的值是(D)A．－B．－C．D．解析因为f′(x)＝cosx＋sinx＝sinx－cosx，所以tanx＝－3，所以tan2x＝＝＝.故选D．4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(B)A．B．C．D．解析∵y＝，∴y′≥＝＝＝－1，∴－1≤tanα<0.又∵0≤α<π，∴≤α<π.故选B．5．函数f(x)＝excosx在点(0，f(0))处的切线方程为(C)A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0解析∵f′(x)＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，∴f′(0)＝e0(cos0－sin0)＝1.又∵f(0)＝1，∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.故选C．6．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝(D)A．B．－C．D．－或解析∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.二、填空题7．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为__5x＋y＋2＝0__.解析由y＝－5ex＋3，得y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.8．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于____.解析∵y′＝，∴k＝，∴切线方程为y＝(x－1)，∴三角形面积为S＝×1×＝.9．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点坐标为____.解析∵y′＝－，∴解得x＝3.故切点坐标为.三、解答题10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解析(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＋6＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又∵直线l过原点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．11．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．解析(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1∞，＋)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知解得－1≤k<0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，得x∈(∞－，2－]∪(1,3)∪[2∞＋，＋)．12．(2018·吉林校级联考)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)＝f(x)－x，证明：函数y＝g(x)图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解析(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.(2)证明：由题意知g(x)＝f(x)－x＝－，g′(x)＝.设P为函数y＝g(x)图象上的任意一点，则过点P的切线方程为y＋＝(x－x0)，令x＝0，则y＝－；令y＝0，则x＝2x0，所以过点P的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为··|2x0|＝6，故函数y＝g(x)图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，且定值为6.
