课时达标第14讲导数与函数的单调性[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现以解答题为主，难度较大．一、选择题1．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为(A)A．(0,1)B．(0∞，＋)C．(1∞，＋)D．(∞－，0)∪(1∞，＋)解析函数的定义域是(0∞，＋)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，解得0
0，所以函数f(x)在(∞－，x1)上单调递减，排除C项．故选D．3．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4“，则a>0”“是f(x)在R”上单调递增的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0“恒成立，故a>0”“是f(x)在R上单调”递增的充分不必要条件．4．函数f(x)对定义域R上的任意x都有f(2－x)＝f(x)，且当x≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，若1f′(x)，即(x－1)f′(x)>0，故当x∈(1∞，＋)时，函数单调递增，x∈(∞－，1)时，函数单调递减． 12，∴f(log2a)0的解集为(D)A．(∞－，－2)∪(1∞，＋)B．(∞－，2)∪(1,2)C．(∞－，－1)∪(－1,0)∪(2∞，＋)D．(∞－，－1)∪(－1,1)∪(3∞，＋)解析由题图可知，若f′(x)>0，则x∈(∞－，－1)∪(1∞，＋)，若f′(x)<0，则x∈(－1,1)，不等式(x2－2x－3)f′(x)>0等价于或解得x∈(∞－，－1)∪(－1,1)∪(3∞，＋)．6．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(C)A．[1∞，＋)B．[1,2)C．D．解析f′(x)＝4x－＝， x>0，由f′(x)＝0，得x＝，∴令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得00，∴2k<0，即n2－3n<0，解得00，函数f(x)＝－x2＋blnx在(1∞，＋)上是减函数，即－x2＋b≤0在x∈(1∞，＋)上恒成立，得b≤x2在x∈(1∞，＋)上恒成立，令g(x)＝x2，x∈(1∞，＋)，则g(x)>g(1)＝1，所以b≤1，则b的最大值为1.三、解答题10．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解析(1)由题意得f′(x)＝，又f′(1)＝＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝.设h(x)＝－lnx－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，即h(x)在(0∞，＋)上是减函数．由h(1)＝0知，当0h(1)＝0，从而f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，递减区间是(1∞，＋)．11．已知函数f(x)＝x－＋1－alnx，a>0，讨论f(x)的单调性．解析由题意知，f(x)的定义...
