第九节 空间向量的应用(二)知识梳理一、利用向量证明平行1．证线线平行(面面平行)方法：a＝λb(b≠0) ⇔a∥b.2．证线面平行方法：(法一)利用共面向量定理，如果两个向量 a，b 不共线，则向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是存在实数对 x，y，使 c＝xa＋yb.(法二)证平面的法向量与该直线垂直．二、利用向量证明垂直1．证线线垂直方法：a·b＝0⇔a⊥b.2．证线面垂直方法：转化为证线线垂直．三、利用向量求距离1．求点到平面的距离：已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，C 为点 A 在平面 α 的射影，n 为平面 α 的法向量，则 A 到平面 α 的距离 d＝＝.2．求直线到平面的距离：转化为点到平面的距离去求．3．求两平面间的距离：转化为点到平面的距离去求．4.两条异面直线距离：分别在直线 a，b 上取定向量 a，b，求与向量 a，b 都垂直的向量 n，分别在 a，b 上各取一个定点 A，B，则异面直线 a，b 间 的距离 d 等于AB在 n 上的射影长，即 d＝.基础自测1．已知直线 a 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，下列结论成立的是( )A．若 a∥n，则 a∥αB．若 a·n＝0，则 a⊥αC．若 a∥n，则 a⊥αD．若 a·n＝0，则 a∥α解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选 C.对于选项 D，直线 a⊂平面 α 也满足a·n＝0.答案：C2．向量 a＝ (－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( )A．a∥b，b⊥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对解析：因为 c＝2a，a·b＝0，所以 a∥c，a⊥b，故选 C.答案：C11.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系．2.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．3.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的作用．3．在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 AA1的中点，则点 A1到平面 MBD 的距离是________．答案：a 4．已知矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面 AC，且 PA＝1，若在 BC 边上存在一点Q，使得 PQ⊥QD，则 a 的取值范围是______.答案：4.[2，＋∞)1．(2012·大纲全国卷)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E 为 CC1的中点，则直线 AC1与平面 BED 的距离为 ( )A．2 B. C. D．1解析：由已知可得 AC1＝4，取 AC 与 BD 的中点 O，...
