第九节 空间向量的应用(二)知识梳理一、利用向量证明平行1．证线线平行(面面平行)方法：a＝λb(b≠0) ⇔a∥b
2．证线面平行方法：(法一)利用共面向量定理，如果两个向量 a，b 不共线，则向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是存在实数对 x，y，使 c＝xa＋yb
(法二)证平面的法向量与该直线垂直．二、利用向量证明垂直1．证线线垂直方法：a·b＝0⇔a⊥b
2．证线面垂直方法：转化为证线线垂直．三、利用向量求距离1．求点到平面的距离：已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，C 为点 A 在平面 α 的射影，n 为平面 α 的法向量，则 A 到平面 α 的距离 d＝＝
2．求直线到平面的距离：转化为点到平面的距离去求．3．求两平面间的距离：转化为点到平面的距离去求．4
两条异面直线距离：分别在直线 a，b 上取定向量 a，b，求与向量 a，b 都垂直的向量 n，分别在 a，b 上各取一个定点 A，B，则异面直线 a，b 间 的距离 d 等于AB在 n 上的射影长，即 d＝
基础自测1．已知直线 a 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，下列结论成立的是( )A．若 a∥n，则 a∥αB．若 a·n＝0，则 a⊥αC．若 a∥n，则 a⊥αD．若 a·n＝0，则 a∥α解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选 C
对于选项 D，直线 a⊂平面 α 也满足a·n＝0
答案：C2．向量 a＝ (－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( )A．a∥b，b⊥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对解析：因为 c＝2a，a·b＝0，所以 a∥c，a⊥b，故选 C
答案：C11
能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系．2
能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)
