【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十三节导数在研究函数中的应用(一) 理

第十三节 导数在研究函数中的应用(一）1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次． 知识梳理 一、函数的导数与函数的单调性的关系1．函数单调性的充分条件．设函数 y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内 y′>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内为________；如果在这个区间内 y′<0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内为________．2．函数单调性的必要条件．设函数 y＝f(x)在某个区间内有导数，如果函数 y＝f(x)在这个区间内为增函数，那么在这个区间内______；如果函数 y＝f(x)在这个区间内为______，那么在这个区间内______．3．求可导函数的单调区间的一般步骤和方法．(1)确定函数 f(x)的定义域．(2)计算导数________，令________，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根．(3)把函数 f(x)的间断点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把 f(x)的定义域分成若干个小区间．(4)确定 f′(x)在各个开区间内的符号，根据 f′(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小区间的增减性[若 f′(x)>0，则 f(x)在相应区间内为增函数；若 f′(x)<0，则 f(x)在相应区间内为减函数]．二、函数的极值1．函数极值的定义．一般地，设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有 f(x)＜f(x0)，就说 f(x0)是_______，记作_________，x0是________．如果对 x0附近的所有的点，都有 f(x)＞f(x0)．就说 f(x0)是________，记作_________，x0是极小值点．极大值与极小值统称为________．2．判别 f(x0)是极大值、极小值的方法．若 x0满足 f′(x0)＝0，且在 x0的两侧 f(x)的导数异号，则 x0是 f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果 f′(x)在 x0两侧满足“左正右负”，那么 x0是 f(x)的________，f(x0)是________；如果 f′(x)在 x0两侧满足“________”，那么 x0是 f(x)的极小值点，f(x0)是极小值．3．求可导函数 f(x)的极值的步骤． (1)确定函数的定义区间，求导数________． (2)求方程________的根． (3)用函数的导数为 0 的点和函数定义域的边界点，顺次将函数的定义域分成________，并列成表格．检查 f′(x)在______，如...