第十四节 导数在研究函数中的应用(二) 基础自测1.函数 f(x)的图象如图所示，则不等式(x＋3)·f′(x)<0 的解集 为( )A．(1，＋∞)B．(－∞，－3)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－1,1) 解析：由不等式(x＋3)f′(x)<0 得或观察图象可知，x<－3 或－10.所以当 x＝时，函数有最小值．答案：4．(2013·南宁联考)已知函数 f(x)＝x3－3ax－a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，显然 a＞0，f′(x)＝3(x＋)(x－)，由已知条件 0＜＜1，解得 0＜a＜1.答案：(0,1)11．(2012·浙江卷)设 a>0，b>0，( )A．若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a>bB．若 2a＋2a＝2b＋3b，则 abD．若 2a－2a＝2b－3b，则 a2b＋2b.构造函数：f(x)＝2 x＋2x，则 f′(x)＝2x·ln 2＋2>0 恒成立，故有函数 f(x)＝2x＋2x 在(0，＋∞)上单调递增，即 a>b 成立．其余选项用同样方法排除．故选 A.答案：A2．(2013·广东卷)设函数 f(x)＝(x－1)ex－kx2(其中 k∈R)．(1) 当 k＝1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2) 当 k∈时，求函数 f(x)在[0，k]上的最大值 M.解析：(1) 当 k＝1 时，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)，令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝ln 2，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：x(－∞，0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值上表可知，函数 f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋...
