第九节 数学归纳法知识梳理 数学归纳法：对于某些与正整数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性．先证明当 n 取第一个值 n0时命题成立；然后假设当 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法．用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0＝1，n0＝2 等)时结论正确；(2)(归纳递推)假设当 n＝k(k∈N*，且 k≥n0)时结论正确，证明当 n＝k＋1 时结论也正确．由(1)，(2)可知， 命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都正确．用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．基础自测1．(2013·深圳月考)用数学归纳法证明“2n>n2＋1 对于 n≥n0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A．2 B．3 C．5 D．6解析：当 n≤4 时，2n>n2＋1 不成立，n≥5 时，2n>n2＋1 成立，所以取 n0＝5.答案：C2．下列代数式中(其中 k∈N*)，能被 9 整除的是( )A．6＋6×7k B．2＋7k－1 C．3 (2＋7k) D．2(2＋7k＋1)解析：(1)当 k＝1 时，显然只有 3(2＋7k)能被 9 整除．(2)假设当 k＝n(n∈N*)命题成立，即 3(2＋7n)能被 9 整除，那么 3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36，这就说明，当 k＝n＋1 时命题也成立．故选 C.答案：C3．(2013·厦门质检)观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第 n 个不等式为________(n∈N*)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋>.答案：1＋＋＋…＋>4．在数列{an}中，a1＝，且 Sn＝n(2n－1)an，通过计算 a2 ，a3，a4，猜想 an的表达式是________．解析：a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，猜想 an＝.答案：an＝1．已知 f(x)＝.(1)若 x≥1 时，证明：f(x)≥ln x；(2)证明：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)＋(n≥1)．1了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.证明：(1)设 g(x)＝f(x)－ln x＝－－ln x(x≥1)，则 g′(x)＝－＋＝＝≥0(x≥1)，所以 g(x)在[1，＋∞)上单调递增，即当 x≥1 时，g(x)≥g(1)＝0，即 f(x)≥ln x.(2)(法一)由(1)有 f(x)＝≥ln x(x≥1)，且当 x＞1 时，＞ln x.令 x＝，有 ln ＜－＝－，即 ln(k＋1)－ln k＜，k＝1,2,3，…，n.将上述 n 个不等式依次相加，得ln(n＋1)＜...
