课时分层作业十三变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·郑州模拟)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=()A.-1B.0C.2D.4【解析】选B.由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率为-,即f′(3)=-,又g(x)=xf(x),g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由题图可知f(3)=1,所以g′(3)=1+3×=0.2.曲线y=ex在点A(0,1)处的切线方程为()A.y=x+1B.y=1C.y=ex+1D.y=x+1【解析】选A.函数y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程:y-y0=f′(x0)(x-x0).f′(0)=e0=1,所以切线为y=x+1.【误区警示】解答本题易出现以下两种错误:一是f′(0)=e0=0,从而选B;二是将A(0,1)的纵坐标代入f′(x)=y′=ex求得斜率为f′(1)=e1=e,从而选C.3.(2018·邵阳模拟)已知a>0,曲线f(x)=2ax2-在点(1,f(1))处的切线的斜率为k,则当k取最小值时a的值为()A.B.C.1D.2【解析】选A.由题意可得,因为f′(x)=4ax+,所以f′(1)=4a+,则当a=时,f′(1)取最小值为4.【变式备选】(2018·广州模拟)已知曲线C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线,它们的倾斜角互补,则a的值为()A.B.-2C.2D.-【解析】选A.设切点坐标为(t,t3-at+a).由题意知,f′(x)=3x2-a,切线的斜率为k=f′(t)=3t2-a,①所以切线方程为y-(t3-at+a)=(3t2-a)·(x-t).②将点(1,0)代入②式得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解得t=0或t=.分别将t=0和t=代入①式,得k=-a和k=-a,由题意知它们互为相反数,得a=.4.(2018·成都模拟)曲线y=xsinx在点P(π,0)处的切线方程是()A.y=-πx+π2B.y=πx+π2C.y=-πx-π2D.y=πx-π2【解析】选A.y=f(x)=xsinx,f′(x)=sinx+xcosx,f′(π)=-π,曲线y=xsinx在点P(π,0)处的切线方程是y=-π(x-π)=-πx+π2.5.已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N*,则f2018(x)=()A.-sinx-cosxB.sinx-cosxC.-sinx+cosxD.sinx+cosx【解析】选C.因为f1(x)=sinx+cosx,所以f2(x)=f1′(x)=cosx-sinx,f3(x)=f2′(x)=-sinx-cosx,f4(x)=f3′(x)=-cosx+sinx,f5(x)=f4′(x)=sinx+cosx,由此可知:fn(x)的解析式的周期为4,因为2018=4×504+2,所以f2018(x)=f2(x)=cosx-sinx.6.已知函数f(x)=asinx+bx3+4(a,b∈R),f′(x)为f(x)的导函数,则f(2014)+f(-2014)+f′(2015)-f′(-2015)=()A.0B.2014C.2015D.8【解析】选D.因为f(x)=asinx+bx3+4(a,b∈R),所以f′(x)=acosx+3bx2,则f(x)-4=asinx+bx3是奇函数,且f′(x)=acosx+3bx2为偶函数,所以f(2014)+f(-2014)+f′(2015)-f′(-2015)=[f(2014)-4]+[f(-2014)-4]+8=8.【变式备选】若幂函数f(x)=mxα的图象经过点A,则它在点A处的切线方程是()A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-4y+1=0D.4x+4y+1=0【解析】选C.根据函数f(x)=mxα为幂函数,所以m=1,根据图象经过点A,则有α=,所以f(x)=,f′(x)=,f′=1,根据直线方程的点斜式,求得切线方程是4x-4y+1=0.7.(2018·衡阳模拟)函数f(x)=cos2+sinx,x∈[0,π],f′(x)为函数f(x)的导函数,则函数y=[f(x)+f′(x)]2的最小值为()A.0B.C.D.【解题指南】求出f(x)以及f′(x),根据x的范围,求出y=[f(x)+f′(x)]2的最小值即可.【解析】选A.f(x)=cos2+sinx=+cosx+sinx,故f′(x)=-sinx+cosx,故y=[f(x)+f′(x)]2=,因为x∈[0,π],所以cosx=-时,y取到最小值0.二、填空题(每小题5分,共15分)8.函数y=xlnx的导数是__________________.【解析】根据乘法的导数法则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)及常见函数的导数公式(lnx)′=,x′=1可得y′=(xlnx)′=lnx+x×=lnx+1.答案:lnx+19.(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是________.【解析】设x>0,则-x<0,因为x≤0时,f=e-x-1-x,所以f=ex-1+x,又因为f为偶函数,所以f=ex-1+x,f′=ex-1+1,f′=e1-1+1=2,所以切线方程为y-2=2,即2x-y=0.答案:2x-y=0【变式备选】已知函数f(x)=ex+f′(2)(lnx-x),则f′(1)=______________.【解析】因为f(x)=ex+f′(2)(lnx-x),所以f′(x)=ex+f′(2),令x=1,得f′(1)=e+f′(2)=e.答案:e10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,且当x>1时,f(x)=xe2-x,则曲线y...
