第十节 抛物线(二)基础自测1．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线与圆 x2＋y2－6x－7＝0 相切，则 p 的值为( )A. B．1 C．2 D．4解析：抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线为 x＝－.圆 x2＋y2－6x－7＝0，可化为(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为 4.又抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线与圆 x2＋y2－7＝0 相切，∴3＋＝4，解得 p＝2.故选 C.答案：C2．已知抛物线 C：y＝x 2，则过抛物线的焦点 F 且斜率为的直线 l 被抛物线截得的线段长为( )A. B. C．5 D．4解析：抛物线 C ：x2＝4y，则焦点 F(0,1)．直线 l 为 y＝x＋1.由得 x2－2x－4＝0.由韦达定理，得 x1＋x2＝2，x1x2＝－4.由弦长公式可得，截得的线段长为·＝×＝5.故选 C.答案：C3．(2013·东北三校第二次联考)若拋物线 y2＝2px(p>0)上一点 P 到焦点和拋物线的对称轴的距离分别为 10 和 6，则 p 的值为________．解析：设 P(x0，y0)，则所以 36＝2p，即 p2－20p＋36＝0，解得 p＝2 或 18.答案：2 或 184．已知动圆过点(1,0)，且 与直线 x＝－1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________.解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线 x＝－1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2＝4x.答案：y2＝4x1．(2013·安徽卷)已知直线 y＝a 交抛物线 y＝x2于 A，B 两点．若该抛物线上存在点 C，使得∠ACB 为直角，则 a 的取值范围为________．解析：以 AB 为直径的圆的方程为 x2＋(y－a)2＝a，由得 y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.即(y－a)[y－(a－1)]＝0，由 已知解得 a≥1.答案：[1，＋∞)2．(2013·辽宁卷)如图，抛物线 C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点 M(x0，y0)在抛物线C2上，过 M 作 C1的切线，切点为 A，B(M 为原点 O 时，A，B 重合于 O)．当 x0＝1－时，切线 MA 的斜率为－.(1)求 p 的值；(2)当 M 在 C2上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A，B 重合于 O 时，中点为 O)．1解析：(1)因为抛物线 C1：x2＝4y 上任意一点(x，y)的切线斜率为 y′＝，且切线 MA 的斜率为－，所以 A 点坐标为，故切线 MA 的方程为 y＝－(x＋1)＋.因为点 M(1－，y0)在切线 MA 及抛物线 C2上，于是y0＝－(2－)＋＝－，①y0＝－＝－.②由①②得 p＝2.(2)设 N(x，y)，A，B，x1≠x2，由 N 为线段 AB 中点知 x＝，③y＝.④切线 MA、MB 的方程为y＝(x...
