第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．知识梳理一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝________________(简记为 Sα±β)； cos(α±β)＝________________(简记为 Cα±β)；tan(α±β)＝________________(简记为 Tα±β)．二、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin 2α＝________(简记为 S2α)；cos 2α＝____________________________(简记为 C2α)；tan 2α＝________(简记为 T2α)．三、二倍角余弦公式的变式1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.四、辅助角公式asin x＋bcos x＝ sin 其中 φ 角所在的象限由 a，b 的符号确定，φ 角的值由 tan φ＝确定．一、sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β 二、2sin αcos α cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 基础自测1．(2013·江西卷)若 sin ＝，则 cos α＝( )1A．－ B．－C. D.解析：cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.答案：C 2．(2012·石家庄二模)＝( )A．1 B.C. D.解析：＝＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝.故选 B.答案：B3．若 cos α＝，其中 α∈，则sin 的值是____________．解析：sin 2＝＝，又∈，∴sin ＝－.答案：－4．已知 α 是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则 tan α＝________.解析：∵tan(π＋2α)＝－，∴tan 2α＝－，由二倍角公式得＝－，又 α 为第二象限角，∴tan α＝－.答案：－ 1．(2013·四川卷)设 sin 2α＝－sin α，α∈，则 tan 2α 的值是________．解析：因为 sin 2α＝－sin α，所以 sin α(2cos α＋1)＝0，又 α∈，所以 sin α≠0，2cos α＋1＝0 即 cos α＝－，sin α＝，tan α＝－，所以 tan 2α＝＝＝.2答案：2．(2013·广东卷)已知函数 f(x)＝cos，x∈R.(1)求 f 的值；(2)若 cos θ＝，θ∈，求 f.解析：(1)f＝cos＝cos＝1.(2)因为 cos θ＝，θ∈，sin θ＝－＝－，所以 f＝cos＝cos θcos ＋sin θsin ＝－. 1．(2013·韶关二模)已知 f(x)＝cos 2x＋2 sin xcos x，则 f( )A. B．－C. D．－解析：函数 y＝2sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，f＝2sin＝2sin＝2sin＝.故选 A.答案：A2．(2012·南京、盐城三模)已知 sin＋sin α＝－，－<α<0，则 cos α＝__________.解析：sin＋sin α＝－，所以 sin αcos＋cos αsin＋sin α＝－，化简得 sin α＋cos α＝－，sin α＋cos α＝－，即 sinα＋＝－.因为－＜α＜0，所以－＜α＋＜，故 cos＝.因此 cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝.答案：3
