三节 平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理一、平面向量的数量积的定义1．向量 a，b 的夹角：已知两个非零向量 a，b，过点 O 作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a，b 的夹角．当且仅当两个非零向量 a，b 同方向时，θ＝0°，当且仅当 a，b 反方向时，θ＝180°，同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的．2．a 与 b 垂直：如果 a，b 的夹角为 90°，则称 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.3．a 与 b 的数量积：两个非零向量 a，b，它们的夹角为 θ，则 cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝cos θ，规定 0·a＝0，非零向量 a 与 b 当且仅当 a⊥b 时，θ＝90°，这时a·b＝0.4．b 在 a 方向上的投影：|OP|＝cos θ∈R(注意是射影)．5．a·b 的几何意义：a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积．二、平面向量数量积的性质设 a，b 是两个非零向量，e 是单位向量，于是有：11．e·a＝a·e＝cos θ.2．a⊥b⇔a·b＝0.3．当 a 与 b 同向时，a·b＝；当 a 与 b 反向时，a·b＝－，特别地，a·a＝a2＝2，即|a|＝.4．cos θ＝.5.≤.三、平面向量数量积的运算律1．交换律成立：a·b＝b·a.2．结合律成立：·b＝λ＝a·(λ∈R)．3．分配律成立：·c＝a·c±b·c＝c·.四、平面向量数量积的坐标表示1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2.2．若 a＝(x，y)，则|a|2＝a·a＝x2＋y2，＝.3．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝.4．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.5．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.6．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 cos θ ＝ . 基础自测1．(2013·辽宁卷)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量 AB 同方向的单位向量为( )A. B.C. D.解析：AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与AB同方向的单位向量为＝.答案：A2．(2013·佛山一模)已知 a＝(1,2)，b＝(0,1)，c＝(k，－2)，若(a＋2b)⊥c，则 k＝( )A．2 B．－2 C．8 D．－8解析： a＝(1,2)，b＝(0,1)，∴a＋2b＝(1,4)，又因为(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝k－8＝0，解得 k...
