第五节 数系的扩充、复数的概念与四则运算知识梳理一、复数的有关概念1．复数的概念．形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的________和________．若________，则 a＋bi 为实数，若________，则 a＋bi 为虚数，若________，则 a＋bi 为纯虚数．2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔________(a，b，c，d∈R). 3．共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔________(a，b，c，d∈R)．4．复平面．建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________．5．复数的模．向量OZ的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作________或________，即|z|＝|a＋bi|＝________.6．复数的几何意义．(1)复数 z＝a＋bi复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.答案：1.实部 虚部 b＝0 b≠0 a＝0 且 b≠0 2.a＝c 且 b＝d 3.a＝c，b＝－d 4.x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 5.|z| |a＋bi| \r(a2＋b2 )二、复数代数形式的运算法则设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则1．z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.2．z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.3.＝＝＋i(c＋di≠0)．三、常见运算规律1．i 的幂运算：i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(其中 n∈N)．2．(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.3．(1±i)2＝±2i.4.＝i，＝－i.5．1 的立方根是 1，－＋i，－－i；－1 的立方根是－1，＋i，－i.6．设 ω＝－＋ i，则 ω2＝，1＋ω＋ω2＝0.四、复数运算所满足的运算律1．加法交换律： z1＋z2＝z2＋z1.2．加法结合律： (z1＋ z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3．乘法运算律：(1)z1(z2z3)＝(z1z2)z3 ；(2)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3；(3)(z1＋z2)z3＝z1z3＋z2z3.五、复数加减法的几何意义1．复数加法的几何意义：如果复数 z1，z2分别对应于向量OP1，OP2，那么，以 OP1，OP2为两边作平行四边形 OP1 SP2，对角线 OS 表示的向量 就是 z1＋z2的和所对应的向量．2．复数减法的几何意义：两个复数的差 z1－z2与连接向量Oz1，Oz2的终点，并指向被减11.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示形式及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.数的向量z2z1对应．六、几...
