第三节 等比数列及其前 n 项和知识梳理一、等比数列的定义一般地，一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，即＝q(n∈N*)，则这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示(q≠0)．二、等比数列的通项公式若数列{an}为等比数列，则 an＝a1·qn－1.三、等比数列的前 n 项和公式当 q＝1 时，Sn＝na1，当 q≠1 时，Sn＝＝.四、等比中项如果三个数 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，即 G＝±.五、等比数列的主要性质1．an＝am·qn－m(n，m∈N*)．2．对于任意正整数 m，n，r，s，只要满足 m＋n＝r＋s，则 am·an＝ar·as.3．对于任意正整数 p，r，s，如果 p＋r＝2s，则 ap·ar＝a2s.4．对任意正整数 n>1，有 a2n＝an－1·an＋1.5 ．对于任意非零实常数 b，{ban}也是等比数列．6．若{an}，{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列．7．等比数列中，如果 an>0，则{l og aan}是等差数列．8．若数列{loga an}成等差数列，则{an}成等比数列．9．若数列是等比数列，则数列{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比数列．10．若数列是等比数列，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列，所以(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)．基础自测1. 若数列{an}是公比为 4 的等比数列，且 a1＝2，则数列{log2an}是( )A．公差为 2 的等差数列B．公差为 lg 2 的等差数列C．公比为 2 的等比数列D．公比为 lg 2 的等比数列答案：A2．设数列为公比 q>1 的等比数列，若 a4，a5是方程 4x2－8x＋3＝0 的两根，则 a6＋a7＝________________.解析：依题意得 a4＋a5＝2， a4，a5为方程 4x2－8x＋3＝0 的两根，∴a4＝，a5＝或 a4＝，a5＝，又 q＞1，∴∴q＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝2×32＝18.答案：183．若等比数列{an}满足 anan＋1＝16n，则公比为________．解析：由 anan＋1＝16n得 an＋1·an＋2 ＝16n＋1，11.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.两式相除得：＝＝16，∴q2＝16， anan＋1＝16n可知公比为正数，∴q＝4.答案：44．在正项数列{an}中，a1＝2，点(，)(n≥2)在直线 x－y＝0 上，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝________.解析：点(，)在直线 x－y＝0 上，∴－·＝0，∴＝，∴＝·()n －1...
