课时达标第59讲绝对值不等式[解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等．1．函数f(x)＝ax＋b，当|x|≤1时，都有|f(x)|≤1，求证：|b|≤1，|a|≤1.证明∵|f(x)|≤1，令x＝0，得|f(0)|≤1，∴|b|≤1.∵|f(1)|＝|a＋b|≤1，|f(－1)|＝|－a＋b|≤1，∴2|a|＝|a＋b＋a－b|≤|a＋b|＋|a－b|≤2.∴|a|≤1.2．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x＋1|－|x－a|＋a(a∈R)．(1)解不等式f(x)≤5；(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．解析(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的x对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f(x)≤5的解集为[－2,3]．(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，即|x－2|＋|x－a|≥a恒成立．而|x－2|＋|x－a|的最小值为|2－a|＝|a－2|，∴|a－2|≥a，∴(2－a)2≥a2，解得a≤1，故a的取值范围为(－∞，1]．3．设f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)若对任意的x∈R，f(x)≥4，求实数a的取值范围．解析(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝其图象如图所示．根据图象易得f(x)≥3的解集为.(2)由于f(x)＝|x－1|＋|x－a|＝|x－1|＋|a－x|≥|a－1|，对任意的x∈R，f(x)≥4等价于|a－1|≥4，解得a≥5或a≤－3，故实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．4．设对于任意实数x，不等式|x＋7|＋|x－1|≥m恒成立．(1)求m的取值范围；(2)当m取最大值时，解关于x的不等式|x－3|－2x≤2m－12.解析(1)设f(x)＝|x＋7|＋|x－1|，则有f(x)＝当x<－7时，f(x)>8；当－7≤x≤1时，f(x)＝8；当x>1时，f(x)>8.综上，f(x)有最小值8，所以m≤8，故m的取值范围为(－∞，8]．(2)当m取最大值时，m＝8.原不等式等价于|x－3|－2x≤4.等价于或等价于x≥3或－≤x<3.所以原不等式的解集为.5．设函数f(x)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋2n≥4.解析(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4.因为方程|x－2|＋|x－1|＝4的解为x1＝－，x2＝，所以原不等式的解集为∪.(2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]，所以解得a＝1，所以＋＝1(m>0，n>0)．所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋＋≥4，当且仅当m＝2n时，等号成立．6．设f(x)＝2|x|－|x＋3|.(1)画出函数y＝f(x)的图象，并求不等式f(x)≤7的解集S；(2)若关于x的不等式f(x)＋|2t－3|≤0有解，求参数t的取值范围．解析(1)f(x)＝如图，函数y＝f(x)的图象与直线y＝7相交于横坐标为x1＝－4，x2＝10的两点，由此得S＝[－4,10]．(2)由(1)知f(x)的最小值为－3，则不等式f(x)＋|2t－3|≤0有解必须且只需－3＋|2t－3|≤0，解得0≤t≤3，所以t的取值范围是[0,3]．
