课时达标第60讲不等式的证明[解密考纲]不等式的证明以解答题进行考查，主要考查综合法、比较法，还常用基本不等式证明不等式或求最值．1．已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b>0.又因为a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.2．已知a，b，c≥都是正数，求证：abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc，①同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c，②c2(a2＋b2)≥2abc2，③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，≥因此abc.3．已知a，b，c∈(0∞，＋)，求证：2≤3.证明欲证2≤3，只需证a＋b－2≤a＋b＋c－3，即证c＋2≥3，∵a，b，c∈(0∞，＋)，∴c＋2＝c≥＋＋3＝3，∴c＋2≥3成立，故原不等式成立．4．设a，b为正实数，且＋＝2.(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．解析(1)由2≥＝＋2，得ab≥，当a＝b＝时取等号．故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝时取等号．所以a2＋b2的最小值是1.(2)由(a－b)2≥4(ab)3，得2≥4ab，即2－≥4ab，从而ab≤＋2.又a，b为正实数，所以ab≥＋2，所以ab＋＝2，所以ab＝1.5．已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记f(x)>－1的解集为M.(1)求M；(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小．解析(1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝由f(x)>－1，得或或解得0
0，所以a2－a＋1>.综上所述，当0.6．已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：(1)≤＋＋；(2)≥＋＋.证明(1)∵由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)·[()2＋()2＋()2]＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时，等号成立，∴≤＋＋.(2)∵由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]≥2＝9(当且仅当a＝b＝c＝时取等号)，又a＋b＋c＝1，∴6≥9，∴≥＋＋.
