高考必考题突破讲座（五）直线与圆锥曲线的综合应用[解密考纲]圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．1．(2018·福建三明一中期中)已知双曲线C1与椭圆＋＝1有相同的焦点，并且经过点.(1)求C1的标准方程；(2)直线l：y＝kx－1与C1的左支有两个相异的公共点，求k的取值范围．解析(1)依题意，双曲线C1的焦点坐标为F1(－4,0)，F2(4,0)，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则2a＝＝4，即a＝2，又因为c＝4，所以b2＝c2－a2＝12.故双曲线的标准方程为－＝1.(2)由得(3－k2)x2＋2kx－13＝0，设该方程的两根分别为x1，x2，则依题意可知解得－0，即m>－1时，x1＝2＋2，x2＝2－2，从而|AB|＝|x1－x2|＝4.由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.3．(2018·四川绵阳南山中学期中)如果点M(x，y)在运动过程中总满足关系式＋＝2.(1)说明点M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；(2)O是坐标原点，直线l：y＝kx＋2与点M的轨迹交于不同的A，B两点，求△AOB面积的最大值．解析(1)＋＝2可表示(x，y)与(，0)，(－，0)的距离之和等于常数2，由椭圆的定义，可知此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且a＝，c＝，故轨迹方程为＋y2＝1.(2)由得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0. Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＝36k2－36>0，k2>1，x1＋x2＝，x1x2＝，且点O到直线l的距离为d＝，|AB|＝·|x1－x2|，∴S＝|AB|·d＝×2|x1－x2|＝＝.令t＝(t>0)，则k2＝t2＋1，∴S≤＝＝，当且仅当t＝，即k＝±时，等号成立，即S取最大值.4．(2017·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．解析(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.所以抛物线C的方程为y2＝x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.因为y1＋－2x1＝＝＝＝＝0，所以＝2x1，故A为线段BM的中点．5．在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由．解析(1)方法一当直线AB垂直于x轴时，y1＝2，y2＝－2，因此y1y2＝－8为定值．当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程y＝k(x－2)，由得ky2－4y－8k＝0.∴y1y2＝－8.因此有y1y2＝－8为定值．方法二设直线AB的方程为my＝x－2，由得y2－4my－8＝0，∴y1y2＝－8.因此有y1y2＝－8为定值．(2)设存在直线l：x＝a满足条件，则AC的中点E，|AC|＝.点A在抛物线上，所以y＝4x1，因此以AC为直径的圆的半径r＝|AC|＝＝，又点E到直线x＝a的距离d＝.故直线l被圆截得的弦长为2＝2＝＝.当1－a＝0，即a＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x＝1.6．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，)，且它的离心率e＝.(1)求椭圆的标准方程；(2)...
