吉林省东北师范大学附属中学 2014-2015 学年高中数学 2.2.4 椭圆中焦点三角形的性质及应用教案 新人教 A 版选修 2-1定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点 P 为椭圆短轴的端点。证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 1性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得： 命题得证。（2000 年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率 的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到 的取值范围是性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。2而， ∴。已知椭圆的焦点是 F1(－1，0)、F2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点 P 在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求 tanF1PF2．解：(1)由题设 2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又 2c＝2，∴b＝ ∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ椭圆的离心率 则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝3
