吉林省东北师范大学附属中学 2014-2015 学年高中数学 3.3 空间向量的数量积（1）教案 新人教 A 版选修 2-1教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；（二）新课讲解：1．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：；2．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；3．向量的数量积：已 知 向 量， 则叫 做的 数 量 积 ， 记 作， 即．已知向量和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量，作点在 上的射影，作点在 上的射影，则叫做向量在轴 上或在上的正射影；可以证明的长度．14．空间向量数量积的性质： （1）．（2）．（3）．5．空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）．（3）（分配律）．（三）例题分析：例 1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。已知：是平面内的两条相交直线，直线 与平面的交点为，且求证：．证明：在内作不与重合的任一直线，在上取非零向量，∵相交，∴向量不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对，使，2lmnmnggl∴，又∵，∴，∴，∴，所以，直线 垂直于平面内的任意一条直线，即得．例 2．已知空间四边形中，，，求证：．证明：（法一） ．（法二）选取一组基底，设，∵，∴，即，同理：，，∴，∴，∴，即．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。例 3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。解：∵，∴3OABC ∴，所以，与的夹角的余弦值为．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，切记！4
