高考数学大一轮复习 课时达标 高考必考题突破讲座（一）导数及其应用试题VIP专享VIP免费

高考必考题突破讲座(一)导数及其应用[解密考纲]导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．1．(2018·河北武邑中学月考)已知函数f(x)＝2alnx－x2.(1)若a＝2，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若a＞0，判断函数f(x)在定义域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函数f(x)的最大值或最小值．解析(1)当a＝2时，f(x)＝4lnx－x2.f′(x)＝－2x，f′(1)＝2，f(1)＝－1，∴函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.(2)f′(x)＝－2x＝，x>0.令f′(x)＝0，由a>0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当x在(0∞，＋)上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，)(∞，＋)f′(x)＋0－f(x)单调递增alna－a单调递减所以函数f(x)在区间(0∞，＋)上有最大值，f()＝alna－a，无最小值．2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－1,2]，且函数f(x)在x＝1和x＝－处都取得极值．(1)求实数a与b的值；(2)对任意x∈[－1,2]，方程f(x)＝2c存在三个实数根，求实数c的取值范围．解析(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意可知解得经检验，适合条件，所以a＝－，b＝－2.(2)原题等价于函数y＝f(x)与函数y＝2c的图象存在三个交点．由(1)知f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令(3x＋2)(x－1)＝0，可得x＝－或x＝1.因为x∈[－1,2]，所以当x∈和x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)是增函数，当x∈时，函数f(x)是减函数，函数的极大值为f＝c＋，极小值为f(1)＝－＋c，而f(2)＝2＋c>c＋，f(－1)＝＋c>－＋c.所以当x∈[－1,2]时，要使两函数图象有三个交点，则要有c≤＋2c0，φ(x)单调递增；x∈(1∞，＋)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减且φ(x)>0，所以x＝1时，φ(x)有极大值，作出两函数的大致图象，如图所示，由图可知，当a>时，两函数图象无交点，g(x)无零点；当a≤0或a＝时，两函数图象有一个交点，g(x)有一个零点；当00)，则g′(x)＝a.令g′(x)>0，即a>0，解得x>1，令g′(x)<0，解得0.令h(x)＝，则h′(x)＝.由(2)知，当x∈(1，e)时，lnx－1＋>0，∴h′(x)>0，即h(x)在(1，e)上单调递增，∴h(x)