高考数学总复习第九章 平面解析几何第10课时 直线与圆锥曲线的综合应用VIP免费

考情分析考点新知会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关交点弦、弦长、中点及直线与圆锥曲线的有关问题．会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关弦长及直线与圆锥曲线的有关问题.1.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________．答案：相交解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．2.椭圆＋＝1的两焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为________．答案：20解析：△PQF2的周长＝4a＝20.3.已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P(2，1)为P1P2的中点，则此直线方程是____________．答案：4x－y－7＝0解析：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．4.若斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．答案：解析：由题意易知两交点的横坐标为－c、c，纵坐标分别为－、，所以由＝得2b2＝ac＝2(a2－c2)，即2e2＋e－2＝0，解得e＝或e＝－(负根舍去)．5.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为____________．答案：－＝1解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1.1.直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ>0直线与圆锥曲线相交；Δ＝0直线与圆锥曲线相切；Δ<0直线与圆锥曲线相离．若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．2.圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长AB＝|x1－x2|或|y1－y2|.[备课札记]题型1如何研究直线与圆锥曲线中的分线段成比例的问题例1已知曲线E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A、B，且MB＝－2MA.(1)若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程；(2)若a＝b＝1，求直线AB的方程．解：(1)设A(x0，y0)，由已知B(0，2)，M(，0)，所以MB＝，MA＝(x0－，y0)．由于MB＝－2MA，所以(－，2)＝－2(x0－，y0)，所以即A(，－1)，将A、B点的坐标代入曲线E的方程，得解得所以曲线E的方程为x2＋＝1.(2)当a＝b＝1时，曲线E为圆x2＋y2＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．又MB＝－2MA，所以＝－2(x1－，y1)，即有x＋y＝1①，x＋y＝1②，由①×4－②，得(2x1＋x2)(2x1－x2)＝3，所以2x1－x2＝，解得x1＝，x2＝0.由x1＝，得y1＝±.当A时，B(0，－1)，此时kAB＝－，直线AB的方程为y＝－x＋1；当A时，B(0，1)，此时kAB＝，直线AB的方程为y＝x－1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A、B两点．若AF＝3FB，则k＝________．答案：解析：定点F分线段AB成比例，从而分别可以得出A、B两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把A、B点的坐标代入椭圆方程＋＝1，四个方程联立方程组，解出根，得出A、B两点的坐标，进而求出直线AB的方程．由已知e＝＝＝，所以a＝2b，所以a＝c，b＝.椭圆方程＋＝1变为x2＋3y2＝c2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又AF＝3FB，所以(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，所以所以x＋3y＝c2，①x＋3y＝c2，②①－9×②，得(x1＋3x2)(x1－3x2)＋3(y1＋3y2)(y1－3y2)＝－8c2，所以×4c(x1－3x2)＝－8c2，所以x1－3x2＝－c，所以x1＝c，x2＝c.从而y1＝－c，y2＝c，所以A，B，故k＝.题型2有关垂直的问题例2如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B...