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高考数学总复习第九章 平面解析几何第10课时 直线与圆锥曲线的综合应用VIP免费

高考数学总复习第九章 平面解析几何第10课时 直线与圆锥曲线的综合应用_第1页
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考情分析考点新知会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系,解决有关交点弦、弦长、中点及直线与圆锥曲线的有关问题.会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系,解决有关弦长及直线与圆锥曲线的有关问题.1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是________.答案:相交解析:由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.2.椭圆+=1的两焦点为F1、F2,一直线过F1交椭圆于P、Q,则△PQF2的周长为________.答案:20解析:△PQF2的周长=4a=20.3.已知双曲线方程是x2-=1,过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1、P2两点,并使P(2,1)为P1P2的中点,则此直线方程是____________.答案:4x-y-7=0解析:设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则由x-=1,x-=1,得k====4,从而所求方程为4x-y-7=0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2-56x+51=0,Δ>0,故此直线满足条件.4.若斜率为的直线l与椭圆+=1(a>b>0)有两个不同的交点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为________.答案:解析:由题意易知两交点的横坐标为-c、c,纵坐标分别为-、,所以由=得2b2=ac=2(a2-c2),即2e2+e-2=0,解得e=或e=-(负根舍去).5.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为____________.答案:-=1解析:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意知c=3,a2+b2=9.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式作差得===,又AB的斜率是=1,所以将4b2=5a2代入a2+b2=9得a2=4,b2=5,所以双曲线的标准方程是-=1.1.直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是将直线方程与曲线方程联立,消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有:Δ>0直线与圆锥曲线相交;Δ=0直线与圆锥曲线相切;Δ<0直线与圆锥曲线相离.若a=0且b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点.2.圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长AB=|x1-x2|或|y1-y2|.[备课札记]题型1如何研究直线与圆锥曲线中的分线段成比例的问题例1已知曲线E:ax2+by2=1(a>0,b>0),经过点M的直线l与曲线E交于点A、B,且MB=-2MA.(1)若点B的坐标为(0,2),求曲线E的方程;(2)若a=b=1,求直线AB的方程.解:(1)设A(x0,y0),由已知B(0,2),M(,0),所以MB=,MA=(x0-,y0).由于MB=-2MA,所以(-,2)=-2(x0-,y0),所以即A(,-1),将A、B点的坐标代入曲线E的方程,得解得所以曲线E的方程为x2+=1.(2)当a=b=1时,曲线E为圆x2+y2=1,设A(x1,y1),B(x2,y2).又MB=-2MA,所以=-2(x1-,y1),即有x+y=1①,x+y=1②,由①×4-②,得(2x1+x2)(2x1-x2)=3,所以2x1-x2=,解得x1=,x2=0.由x1=,得y1=±.当A时,B(0,-1),此时kAB=-,直线AB的方程为y=-x+1;当A时,B(0,1),此时kAB=,直线AB的方程为y=x-1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A、B两点.若AF=3FB,则k=________.答案:解析:定点F分线段AB成比例,从而分别可以得出A、B两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式,再把A、B点的坐标代入椭圆方程+=1,四个方程联立方程组,解出根,得出A、B两点的坐标,进而求出直线AB的方程.由已知e===,所以a=2b,所以a=c,b=.椭圆方程+=1变为x2+3y2=c2.设A(x1,y1),B(x2,y2),又AF=3FB,所以(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),所以所以x+3y=c2,①x+3y=c2,②①-9×②,得(x1+3x2)(x1-3x2)+3(y1+3y2)(y1-3y2)=-8c2,所以×4c(x1-3x2)=-8c2,所以x1-3x2=-c,所以x1=c,x2=c.从而y1=-c,y2=c,所以A,B,故k=.题型2有关垂直的问题例2如图,在平面直角坐标系xOy中,M、N分别是椭圆+=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连结AC,并延长交椭圆于点B...

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