考情分析考点新知掌握基本不等式，能利用基本不等式推导不等式，能利用基本不等式求最大(小)值．①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.(必修5P91习题7改编)若x>0，则x＋的最小值为________．答案：2解析： x>0，∴x＋≥2＝2，当且仅当x＝时等号成立．2.(必修5P94复习题8改编)设x<0，则y＝3－3x－的最小值为________．答案：3＋4解析： x<0，∴y＝3－3x－＝3＋(－3x)＋≥3＋2＝3＋4，当且仅当x＝－时等号成立，故所求最小值为3＋4.3.(必修5P88例2改编)若x>－3，则x＋的最小值为________．答案：2－3解析： x＋3>0，∴x＋＝(x＋3)＋－3≥2－3＝2－3.4.(必修5P91练习题2改编)设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是________．答案：18解析：3x＋3y≥2＝2＝2＝18，当且仅当x＝y＝时等号成立．5.(必修5P88例2改编)已知函数f(x)＝x＋(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．答案：6解析： 函数f(x)＝x＋(x>2)的图象过点A(3，7)，即7＝3＋a，∴a＝4. x－2>0，∴f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x＝4时等号成立，故此函数的最小值是6.1.算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数．2.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号；(3)结论：两个非负数a，b的算术平均数不小于其几何平均数．3.拓展：若a＞0，b＞0，≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立．[备课札记]题型1利用基本不等式证明不等式例1已知x>0，y>0，求证：＋≥.证明：原不等式等价于(x＋y)2≥4xy，即(x－y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．(1)若a>b>c，求证：＋≥；(2)若a>b>c，求使得＋≥恒成立的k的最大值．证明：(1)令a－b＝x，b－c＝y，则a－c＝x＋y.原不等式等价于＋≥，由作差法可证该不等式成立，故原不等式成立．(2)由(1)可知，＋≥恒成立，而＋≥，k的最大值为4.题型2利用基本不等式求最值例2(1)已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；(2)已知x>0，y>0且＋＝1，求x＋y的最小值．解：(1)x<，∴4x－5<0.∴y＝4x－5＋＋3＝－[(5－4x)＋]＋3≤－2＋3＝1，ymax＝1.(2) x>0，y>0且＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，即x＋y的最小值为16.已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝4时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．解：(1)由a＝4，∴f(x)＝＝x＋＋2≥6，当x＝2时，取得等号．即当x＝2时，f(x)min＝6.(2)x∈[1，＋∞)，>0恒成立，即x∈[1，＋∞)，x2＋2x＋a>0恒成立．等价于a>－x2－2x，当x∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，∴a>g(x)max＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a的取值范围是.题型3利用基本不等式解应用题例3如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围成36m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若使每间虎笼的面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1)设每间虎笼长为xm，宽为ym，则面积S＝xy.由于2x＋3y≥2＝2，所以2≤18，得xy≤，即S≤，当且仅当2x＝3y时取等号．则所以每间虎笼长、宽分别为4.5m、3m时，可使面积最大．(2)设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm，则l＝4x＋6y，且xy＝24，所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥2×2＝4＝4×＝48(m)，当且仅当2x＝3y时取等号．故每间虎笼长、宽分别为6m、4m时，可使钢筋网的总长最小为48m.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的宽为xm，则长为m.总造价为f(x)＝400×＋248×2x＋80×162＝1296x＋＋12960＝1296＋...
