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高考数学总复习第六章 不 等 式第3课时 基本不等式VIP免费

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考情分析考点新知掌握基本不等式,能利用基本不等式推导不等式,能利用基本不等式求最大(小)值.①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.(必修5P91习题7改编)若x>0,则x+的最小值为________.答案:2解析: x>0,∴x+≥2=2,当且仅当x=时等号成立.2.(必修5P94复习题8改编)设x<0,则y=3-3x-的最小值为________.答案:3+4解析: x<0,∴y=3-3x-=3+(-3x)+≥3+2=3+4,当且仅当x=-时等号成立,故所求最小值为3+4.3.(必修5P88例2改编)若x>-3,则x+的最小值为________.答案:2-3解析: x+3>0,∴x+=(x+3)+-3≥2-3=2-3.4.(必修5P91练习题2改编)设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是________.答案:18解析:3x+3y≥2=2=2=18,当且仅当x=y=时等号成立.5.(必修5P88例2改编)已知函数f(x)=x+(x>2)的图象过点A(3,7),则此函数的最小值是________.答案:6解析: 函数f(x)=x+(x>2)的图象过点A(3,7),即7=3+a,∴a=4. x-2>0,∴f(x)=(x-2)++2≥2+2=6,当且仅当x=4时等号成立,故此函数的最小值是6.1.算术平均数与几何平均数对于正数a,b,我们把称为a、b的算术平均数,称为a、b的几何平均数.2.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0;(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号;(3)结论:两个非负数a,b的算术平均数不小于其几何平均数.3.拓展:若a>0,b>0,≤≤≤,当且仅当a=b时等号成立.[备课札记]题型1利用基本不等式证明不等式例1已知x>0,y>0,求证:+≥.证明:原不等式等价于(x+y)2≥4xy,即(x-y)2≥0,显然成立.故原不等式得证.(1)若a>b>c,求证:+≥;(2)若a>b>c,求使得+≥恒成立的k的最大值.证明:(1)令a-b=x,b-c=y,则a-c=x+y.原不等式等价于+≥,由作差法可证该不等式成立,故原不等式成立.(2)由(1)可知,+≥恒成立,而+≥,k的最大值为4.题型2利用基本不等式求最值例2(1)已知x<,求函数y=4x-2+的最大值;(2)已知x>0,y>0且+=1,求x+y的最小值.解:(1)x<,∴4x-5<0.∴y=4x-5++3=-[(5-4x)+]+3≤-2+3=1,ymax=1.(2) x>0,y>0且+=1,∴x+y=(x+y)=10++≥10+2=16,即x+y的最小值为16.已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).(1)当a=4时,求函数f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.解:(1)由a=4,∴f(x)==x++2≥6,当x=2时,取得等号.即当x=2时,f(x)min=6.(2)x∈[1,+∞),>0恒成立,即x∈[1,+∞),x2+2x+a>0恒成立.等价于a>-x2-2x,当x∈[1,+∞)时恒成立,令g(x)=-x2-2x,x∈[1,+∞),∴a>g(x)max=-1-2×1=-3,即a>-3.∴a的取值范围是.题型3利用基本不等式解应用题例3如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围成36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼的面积最大?(2)若使每间虎笼的面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小?解:(1)设每间虎笼长为xm,宽为ym,则面积S=xy.由于2x+3y≥2=2,所以2≤18,得xy≤,即S≤,当且仅当2x=3y时取等号.则所以每间虎笼长、宽分别为4.5m、3m时,可使面积最大.(2)设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm,则l=4x+6y,且xy=24,所以l=4x+6y=2(2x+3y)≥2×2=4=4×=48(m),当且仅当2x=3y时取等号.故每间虎笼长、宽分别为6m、4m时,可使钢筋网的总长最小为48m.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/m2,中间两道隔墙建造单价为248元/m2,池底建造单价为80元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16m,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.解:(1)设污水处理池的宽为xm,则长为m.总造价为f(x)=400×+248×2x+80×162=1296x++12960=1296+...

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