山东省乐陵市第一中学 2015 届高三数学 第 13 周 空间向量在立体几何中的应用（二）学案【学习目标】能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．【重点难点】能用向量方法研究立体几何问题中的应用．【知识梳理】1.利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，l1 与 l2 所成的角 θ，则_____________.(2)求直线与平面所成的角设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.(3)求二面角的大小① 若 AB、CD 分别是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的 大小就是向量AB与CD的夹角(如图①)．② 设 n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个面 α，β 的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．2．利用空间向量求点面距离如图④，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为|BO|＝.【自我检测】1．已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1＝2AB，则 CD 与平面 BDC1 所 成角的正弦值等于( )A. B. C. D.2．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别在 A1D，AC 上，且 A1E＝A1D，AF＝AC，则( )A．EF 至多与 A1D，AC 之一垂直B．EF 是 A1D，AC 的公垂线C．EF 与 BD1 相交D．EF 与 BD1 异面④【合作探究】考向 3 利用空间向量求二面角【例 3】(2013·江苏高考)如图 ，在直三棱柱 A1B1C1—ABC 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点 D 是 BC 的中点．(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2)求平 面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值．考向 4 利用空间向量解决开放性问题【例 4】 (2012·北京高考)如图(1)，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DE∥BC，DE＝2，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1C⊥CD，如图(2)．(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；(3)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．变式训练 4 如图，在三棱锥 P—ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，PO⊥平面 ABC，垂...
