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高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 课时达标检测(十六)导数与函数的综合问题 文-人教版高三数学试题VIP免费

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课时达标检测(十六)导数与函数的综合问题[——一般难度题全员必做]1.(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.解:(1)f′(x)=(1-2x-x2)ex.令f′(x)=0,得x=-1-或x=-1+.当x∈(∞-,-1-)时,f′(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时,f′(x)>0;当x∈(-1∞+,+)时,f′(x)<0.所以f(x)在(∞-,-1-),(-1∞+,+)上单调递减,在(-1-,-1+)上单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.①当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,则h′(x)=-xex<0(x>0).因此h(x)在[0∞,+)上单调递减,又h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.②当0<a<1时,设函数g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1>0(x>0),所以g(x)在[0∞,+)上单调递增,而g(0)=0,故ex≥x+1.当0<x<1时,f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1∞,+).2.(2018·沈阳监测)已知函数f(x)=alnx(a>0),e为自然对数的底数.(1)若过点A(2,f(2))的切线斜率为2,求实数a的值;(2)当x>0时,求证f(x)≥a;(3)若在区间(1,e)上exa-e1ax<0恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)由题意得f′(x)=,∴f′(2)==2,∴a=4.(2)证明:令g(x)=a(x>0),则g′(x)=a.令g′(x)>0,即a>0,解得x>1,令g′(x)<0,解得0.令h(x)=,则h′(x)=,由(2)知,当x∈(1,e)时,lnx-1+>0,∴h′(x)>0,即h(x)在(1,e)上单调递增,∴h(x)0).当k=2时,f′(x)=-+=-2+1≤1,当且仅当x=1时,等号成立.所以函数f(x)的图象的切线斜率中的最大值为1.(2)因为关于x的方程f(x)=k有解,令g(x)=f(x)-k=+klnx-k,则问题等价于函数g(x)存在零点.g′(x)=-+=.当k<0时,g′(x)<0在(0∞,+)上恒成立,所以函数g(x)在(0∞,+)上单调递减.因为g(1)=1-k>0,g(e1-)=+k-k=-1<-1<0,所以函数g(x)存在零点.当k>0时,令g′(x)=0,得x=.g′(x),g(x)随x的变化情况如下表:xg′(x)-0+g(x)极小值所以g=k-k+kln=-klnk为函数g(x)的最小值,当g>0,即00,所以函数g(x)存在零点.综上,当k<0或k≥1时,关于x的方程f(x)=k有解.[——中档难度题学优生做]1.设函数f(x)=alnx+x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.解:(1)f′(x)=+(1-a)x-b.由题设知f′(1)=0,解得b=1.(2)f(x)的定义域为(0∞,+),由(1)知,f(x)=alnx+x2-x,f′(x)=+(1-a)x-1=(x-)(x-1).①若a≤≤,则1,故当x∈(1∞,+)时,f′(x)>0,f(x)在(1∞,+)单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件为f(1)<,即-1<,解得--11,故当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.f(x)在单调递减,在单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件为f<.而f=aln++>,所以不合题意.③若a>1,则f(1)=-1=<.综上,a的取值范围是(--1,-1)∪(1∞,+).2.(2017·广西陆川二模)已知函数f(x)=lnx-mx+m.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)≤0在(0∞,+)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)在(2)的条件下,对任意的00恒成立,则函数f(x)在(0∞,+)上单调递增,无单调递减区间;当m>0时,由f...

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