空间直角坐标系中平面法向量的三种求法昆明第八中学 谭武昌近几年高考立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用传统的几何方法解决，又可用向量方法处理，在求异面直线所成角、直线与平面的所成角、二面角的大小以及点到平面的距离时，向量方法都有标准的公式，这些公式对学生的空间想象能力要求相对不高，因此，师生逐渐重视空间向量方法的应用，但是，在完成解答的过程中，正确求出法向量的坐标是关键，下面总结三种常见的求法向量坐标的方法，希望大家在比较中掌握这一重要技能。1． 方程法利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，师生容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。例 1 已 知 向 量、 是 平 面内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 ，，，求平面 的一个法向量 的坐标。解：设，则由，得 即不妨设，得 ， 取 2．矢量积公式，，，其中行列式，法向量取与向量共线的即可。用心 爱心 专心 用这一方法解答例 1，先把平面内的两个向量坐标对齐写蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算就是向量的坐 标 ， 蒙 住 第 二 列 ， 把 前 后 两 列 看 成 一 个 二 阶 行 列 式 ， 计 算，取的相反数 作为的 坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算作为 坐标，所以，可以取，它与前面方程法求得的是共线向量。矢量积公式属于高等数学中空间解析几何的内容，学生难以在现有的知识基础上真正理解，但由于这是一个死板的公式，操作步骤清晰，学生容易记住，开始觉得不习惯，多练几次后，具有速度快、结果准的优点，不妨一试。 3．双 0 速算法如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为 0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为 0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为 0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为 0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现 2 个 0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。例 3．已知向量 、 是平面 内的两个不共线的向量，，，求平面 的一个法向量 的坐标。先找一个与向量垂直的向量，因为•，故可先取的 、坐标分别为、， 坐标待定，即；又因为•，即，...
