课时分层作业十九同角三角函数的基本关系及诱导公式一、选择题(每小题5分,共35分)1.若角α的终边落在第三象限,则+的值为()A.3B.-3C.1D.-1【解析】选B.因为α是第三象限角,故sinα<0,cosα<0,所以原式=+=-1-2=-3.2.α是第四象限角,tanα=-,则sinα=()A.B.-C.D.-【解析】选D.因为tanα=-,所以=-,所以cosα=-sinα,代入sin2α+cos2α=1得sinα=±,又α是第四象限角,所以sinα=-.【一题多解】选D.因为tanα=-,且α是第四象限角,所以可设y=-5,x=12,所以r==13,所以sinα==-.3.已知cos29°=a,则sin241°·tan151°的值是()A.B.C.-D.-【解析】选B.sin241°·tan151°=sin(270°-29°)·tan(180°-29°)=(-cos29°)·(-tan29°)=sin29°=.4.若sin(π-α)=-2sin,则sinα·cosα的值等于()A.-B.-C.或-D.【解析】选A.因为sin(π-α)=-2sin,所以sinα=-2cosα,即tanα=-2,所以原式====-.【延伸探究】本题条件不变,试求的值.【解析】由sin(π-α)=-2sin知tanα=-2,所以原式====.5.若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为()A.1+B.1-C.1±D.-1-【解析】选B.由题意知sinθ+cosθ=-,sinθ·cosθ=.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,所以=1+,解得m=1±.又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-.6.已知tan(α-π)=,且α∈,则sin(α+)等于()A.B.-C.D.-【解析】选B.因为tan(α-π)=-tan(π-α)=tanα=>0,又α∈,所以α∈,即cosα<0,所以sinα=cosα,又因为sin2α+cos2α=1,故cos2α+cos2α=1,故cosα=-,因此sin=cosα=-.【变式备选】已知α∈,sinα=-,则cos(-α)的值为()A.-B.C.-D.【解析】选B.因为sinα=-<0,α∈,所以α∈,故cos(-α)=cosα==.7.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2019)的值为()A.-1B.1C.3D.-3【解析】选D.因为f(4)=3,所以asinα+bcosβ=3,故f(2019)=asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)=-asinα-bcosβ=-(asinα+bcosβ)=-3.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·杭州模拟)已知cos2α=sinα,则+cos4α=__________.【解析】由cos2α=1-sin2α=sinα,解得sinα=(负值舍去),所以==,则+cos4α=+sin2α=+1-cos2α=+1-sinα=+1-=2.答案:29.设α是第三象限角,tanα=,则cos(π-α)=__________.【解析】因为α为第三象限角,tanα=,所以cosα=-,所以cos(π-α)=-cosα=.答案:10.化简:=________.【解析】原式===1.答案:1【变式备选】α为第二象限角,则cosα·+sinα·=________.【解析】原式=cosα·+sinα·=+=-1+1=0.答案:01.(5分)已知cos=且-π<α<-,则cos=()A.B.C.-D.-【解题指南】利用角+α与-α互余,借助诱导公式及同角公式求解,但要注意角+α的范围.【解析】选D.因为-π<α<-,所以-<+α<-,又因为cos=cos=sin=-=-.2.(5分)(2018·衡水模拟)已知2θ是第一象限的角,且sin4θ+cos4θ=,那么tanθ=()A.B.-C.D.-【解题指南】条件中四次方先用配方法进行降次,求出sinθcosθ,后添上分母1,再将“1”用“sin2θ+cos2θ=1”代换,为了寻找与tanθ的关系,借助于=tanθ合理转换,从而求出所求式的值.【解析】选A.因为sin4θ+cos4θ=,所以(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,所以sinθcosθ=,所以=,所以=,解得tanθ=(舍去,这是因为2θ是第一象限的角,所以tanθ为小于1的正数)或tanθ=.3.(5分)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α=________.【解析】因为sinα=-2cosα,所以tanα=-2,原式====-1.答案:-14.(12分)已知在△ABC中,sinA+cosA=.(1)求sinAcosA的值.(2)求tanA的值.【解析】(1)因为sinA+cosA=,所以(sinA+cosA)2=,即1+2sinAcosA=,故sinAcosA=-.(2)因为sinA-cosA====,①又sinA+cosA=,②由①②知,sinA=,cosA=-,因此tanA==-.5.(13分)已知tanα=-,α为第二象限角.(1)求的值.(2)求++的值.【解析】(1)原式===-cosα.因为tanα=-,α为第二象限角,所以=-.又sin2α+cos2α=1.解得cosα=-,故原式=.(2)原式=++=++=+,因为α为第二象限角,所以上式=-1-=-1-=-1.
