考情分析考点新知掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义．掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换进行解题.1.(选修42P34习题第1题改编)求点A(2，0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．解：矩阵表示横坐标保持不变，纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0)2.点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的值．解：＝，解得3.已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵．解：将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x，2x)，则有＝，解得∴T＝.4.求曲线y＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程．解：设点(x，y)是曲线y＝上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则＝，所以.因为点(x，y)在曲线y＝上，所以x′＝，即x＝.5.求直线x＋y＝5在矩阵对应的变换作用下得到的图形．解：设点(x，y)是直线x＋y＝5上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则＝，所以.因为点(x，y)在直线x＋y＝5上，所以y′＝x＋y＝5，故得到的图形是点(0，5)．1.变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为T：→＝，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为→＝(a、b、c、d∈R)的矩阵形式，反之亦然．2.几种常见的平面变换(1)当M＝时，则对应的变换是恒等变换．(2)由矩阵M＝或M＝(k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换．(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4)当M＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．(6)由矩阵M＝或确定的变换称为切变变换．3.变换的复合与矩阵的乘法(1)一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律．(2)矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)．(3)矩阵的乘法不满足消去律．[备课札记]题型1求变换前后的曲线方程例1设椭圆F：＋＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)对应的变换下变换成另一个图形F′，试求F′的解析式．解：变换矩阵为，任取椭圆上一点(x0，y0)，则＝，令则又点(x0，y0)在椭圆F上，故＋＝1，所以2x′2－8x′y′＋9y′2－4＝0，即F′的解析式为2x2－8xy＋9y2－4＝0.设M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．解：MN＝＝，设(x，y)是曲线y＝sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为(x′，y′)．则＝，所以即代入y＝sinx得y′＝sin2x′，即y′＝2sin2x′.即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y＝2sin2x.已知矩阵M＝，N＝，矩阵MN对应的变换把曲线y＝sinx变为曲线C，求曲线C的方程．解：MN＝＝，设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y＝sinx上点P0(x0，y0)在矩阵MN变换下的对应点，则有＝，即所以又点P(x0，y0)在曲线y＝sinx上，故y0＝sinx0，从而y＝sinx.所求曲线C的方程为y＝sinx.题型2根据变换前后的曲线方程求矩阵例2二阶矩阵M对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)．(1)求矩阵M；(2)若直线l在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x－3y－68＝0，求直线l的方程．解：(1)不妨设M＝，则由题意得＝，＝，所以故M＝.(2)取直线l上的任一点(x，y)，其在M作用下变换成对应点(x′，y′)，则＝＝，即代入11x－3y－68＝0，得x－y－4＝0，即l的方程为x－y－4＝0.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a、b的值．解：(解法1)在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2，0)，B(0，－2)，A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′，因为＝，所以A′的坐标为(－2，－2b)；＝，所以B′的坐标为(－2a，－8)．由题意A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b＝3.(解法2)...
