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高考数学总复习矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法VIP免费

高考数学总复习矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法_第1页
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考情分析考点新知掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义.掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义,并能应用这几种常见的线性变换进行解题.1.(选修42P34习题第1题改编)求点A(2,0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标.解:矩阵表示横坐标保持不变,纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换,故点A(2,0)变为点A′(2,0)2.点(-1,k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(-2,-4),求m、k的值.解:=,解得3.已知变换T是将平面内图形投影到直线y=2x上的变换,求它所对应的矩阵.解:将平面内图形投影到直线y=2x上,即是将图形上任意一点(x,y)通过矩阵M作用变换为(x,2x),则有=,解得∴T=.4.求曲线y=在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程.解:设点(x,y)是曲线y=上任意一点,在矩阵的作用下点变换成(x′,y′),则=,所以.因为点(x,y)在曲线y=上,所以x′=,即x=.5.求直线x+y=5在矩阵对应的变换作用下得到的图形.解:设点(x,y)是直线x+y=5上任意一点,在矩阵的作用下点变换成(x′,y′),则=,所以.因为点(x,y)在直线x+y=5上,所以y′=x+y=5,故得到的图形是点(0,5).1.变换一般地,对于平面上的任意一个点(向量)(x,y),若按照对应法则T,总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′,y′),则称T为一个变换,简记为T:(x,y)→(x′,y′)或T:→.一般地,对于平面向量的变换T,如果变换规则为T:→=,那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则,可以改写为→=(a、b、c、d∈R)的矩阵形式,反之亦然.2.几种常见的平面变换(1)当M=时,则对应的变换是恒等变换.(2)由矩阵M=或M=(k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换.(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称.(4)当M=时,对应的变换叫旋转变换,即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度.(5)将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换.(6)由矩阵M=或确定的变换称为切变变换.3.变换的复合与矩阵的乘法(1)一般情况下,AB≠BA,即矩阵的乘法不满足交换律.(2)矩阵的乘法满足结合律,即(AB)C=A(BC).(3)矩阵的乘法不满足消去律.[备课札记]题型1求变换前后的曲线方程例1设椭圆F:+=1在(x,y)→(x′,y′)=(x+2y,y)对应的变换下变换成另一个图形F′,试求F′的解析式.解:变换矩阵为,任取椭圆上一点(x0,y0),则=,令则又点(x0,y0)在椭圆F上,故+=1,所以2x′2-8x′y′+9y′2-4=0,即F′的解析式为2x2-8xy+9y2-4=0.设M=,N=,试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程.解:MN==,设(x,y)是曲线y=sinx上的任意一点,在矩阵MN变换下对应的点为(x′,y′).则=,所以即代入y=sinx得y′=sin2x′,即y′=2sin2x′.即曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y=2sin2x.已知矩阵M=,N=,矩阵MN对应的变换把曲线y=sinx变为曲线C,求曲线C的方程.解:MN==,设P(x,y)是所求曲线C上的任意一点,它是曲线y=sinx上点P0(x0,y0)在矩阵MN变换下的对应点,则有=,即所以又点P(x0,y0)在曲线y=sinx上,故y0=sinx0,从而y=sinx.所求曲线C的方程为y=sinx.题型2根据变换前后的曲线方程求矩阵例2二阶矩阵M对应变换将(1,-1)与(-2,1)分别变换成(5,7)与(-3,6).(1)求矩阵M;(2)若直线l在此变换下所变换成的直线的解析式l′:11x-3y-68=0,求直线l的方程.解:(1)不妨设M=,则由题意得=,=,所以故M=.(2)取直线l上的任一点(x,y),其在M作用下变换成对应点(x′,y′),则==,即代入11x-3y-68=0,得x-y-4=0,即l的方程为x-y-4=0.在平面直角坐标系xOy中,直线l:x+y+2=0在矩阵M=对应的变换作用下得到直线m:x-y-4=0,求实数a、b的值.解:(解法1)在直线l:x+y+2=0上取两点A(-2,0),B(0,-2),A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′,因为=,所以A′的坐标为(-2,-2b);=,所以B′的坐标为(-2a,-8).由题意A′、B′在直线m:x-y-4=0上,所以解得a=2,b=3.(解法2)...

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