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数理逻辑应用

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《高中数学研究性学习案例》形式逻辑 数理逻辑(布尔代数) 中学数学 王跃进在中学数学教学中,教师一般都很重视教材内容的教学成份本身。对它们总是进行反复解释和举例说明等。诚然,对于消除学生理解教材内容的困难,这样做是必要的,但是,如果学生产生困难的原因不是数学成份本身,而是教材内容的逻辑成份,学生不能较好地理解,并且教师又没讲清有关逻辑关系的意义时,学生就可能仍然没有理解教材内容,因为没有消除不能理解的原因。另外,一些初步的逻辑知识也不是所有的数学教师都掌握得很好,在一些数学杂志上也时常出现犯有严重逻辑性、错误的文章,这些是与学生和教师没有系统地学习逻辑知识有很大关系。目前,国家教育部已经制定出新的高中数学课程标准,在新数学课程标准中,除了将概率、向量作为必学内容外,又增加“简易用心 爱心 专心逻辑”作为必学内容之一,针对学生常犯的逻辑错误安排内容(如结合复合命题的否定来介绍四种命题的关系等)。一些省、市也计划在中学数学教师的继续教育(继学历教育之后)课程中开一门“数学教学逻辑学”,以培养和提高中学数学教师的逻辑修养。本文是想从数理逻辑的角度来探讨中学里的一些问题。请各位老师批评指正。一、 数理逻辑在用反证法解题中的应用在用反证法证明某一数学命题时,一般要先作出原命题的否定命题,然后才能往下进行推理证明,因此如何正确地作出原命题的否定命题,是用反证法证题的一个首要问题。如果不能正确地作出原命题的否定命题,那么再往下所进行的推证都是无效的。例 1.已知 x1>0,x1 0,且,n=1,2,3,…,试证:数列或者对任意自然数 n 都满足,或者对任意自然数 n都满足(1986 年全国高考题)在一份数学杂志上曾刊登了该题的一个错证如下:用心 爱心 专心“证(用反证法)假设对任意的自然数 n,既不满足,也不满足,则应满足:对任意的自然数 n,都有,因此由题设可得 即 ,所以 。这与题设 x1>0,且 x1 0 矛盾,故假设不成立(任意n∈N),命题得证。”后来杂志上也指出这个“证明”是错误的。下面我们用数理逻辑的方法来分析错误的原因。原命题的结论用数理逻辑的符号可以形式化为 (1)其意思是:严格单调递增(),或严格单调递减()。(1)式的否定是用心 爱心 专心== = (2)式中“”表示“所有”,叫做全称量词。“”表示“存在”(或“有一个”,“至少有一个”),叫做特称量词。“”表示括号中命题的否定命题。在(2)...

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