中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料数形结合 探索定值 一、数形结合，探索思路 例 1 已知抛物线 y=x2+kx+1 与 x 轴相交于两个不同的点A、B，顶点为 C，且∠ACB=90°，试求如何平移此抛物线使其∠ACB=60°。 分析 很多同学对这道题感到比较生疏，一是有的已知条件，如∠ACB=90°意味着什么？怎样入手解？二是平移后使∠ACB=60°，又意味着什么？ 不妨换个角度考虑问题，画图观察一下。草图如图所示，可看到由于抛物线的对称性，∠ACB=90°就意味着△ACB 是等腰直角三角形，就是说，斜边 AB 上的高 CD 等于斜边 AB 的一半，而 AB 的长等于这两点横坐标差的绝对值，CD 的长则是顶点 C 纵坐标的绝对值。于是可以列出方程，求得 k 的值：设 A、B 两点横坐标分别为 x1、x2，则它们是方程 x2+kx+1=0 的两个相异的实数根，那么有 于是 AB=|x2-x1|= 又设顶点 C 的坐标为(x0,y0)，应用顶点坐标公式，有 y0=，CD=|y0|。 那么条件 CD=AB 就是如下方程： |x1-x2|=|y0|，即 中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有@中学学科网 中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料 （ k2-4>0）。 (k2-4)2-4(k2-4)=0， (k2-4)(k2-8)=0。 k2-4>0，∴k2-8=0。∴k=±2。 于是抛物线解析式为 y=x2±2x+1。 这样通过观察图形和计算，不但弄清了∠ACB=90°意味着什么和如何利用这个条件求出 k 值，同时也提示我们用同样的方法去分析平移抛物线，使其∠ACB=60°。画图分析可看到，抛物线向下平移，∠ACB 逐渐变小，当∠ACB=60°时，由抛物线的对称性可知△ACB 为等边三角形。因为等边三角形的高等于边长的倍，所以 CD=AB，这就给我们提供了一个等量关系，利用这个关系列方程，可求出平移后抛物线解析式中的常数项。 设把抛物线 y=x2±2x+1 向下平称|l|个单位后，使∠ACB=60°，则平移后抛物线的解析式为 y=x2±2x+1+l。 设 A、B 两点的横坐标分别为，C 点纵坐标为，则按题意有|| ① 又=±2，=1+l，因此 =。 ==l-1。 代入①，得=|1-l|。 平方，整理得(1-l)(l+2)=0。 因平移后抛物线仍保持同 x 轴有两个交点，所以|x1-x2|=≠0，即 1-l≠0。 中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有@中学学科网 中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料可得 l+2=0，即 l=-2。 于是...
