数形结合思想方法的运用

数形结合思想方法的运用 恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”“数”与“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系。数形结合，就是在解决代数问题时，揭示出隐含在它内部的几何背景，启发思维，找到解题途径；或者在研究几何图形时，注意从代数的角度，通过数量关系的研究解决问题。例1、 例 1、 在正三角形 ABC 外接圆的弧 BC 上任取一点 P，求证：。）；（）（2221PAABPCPBPAPCPB分析：设正△ABC 边长为yPBxPAa ，，，zPC  ，对△ PAB 和 △ PAC 使 用 余 弦 定 理 ， 有 ： 222222axzzxaxyyx即 ：00222222axxzzaxxyy这说明 y，z 是关于 u 的方程0222axxuu的两个根。由韦达定理，有：22axzyxzy，即：。，22PAABPCPBPAPCPB例2、 例 2、对每个实数42214)(xxxxfx，，取，设中的最小值，那么)(xf的最大值是（ ）。25323138、、、、DCBA分析：如图，函数)(xfy 的图像是图中的实线，联立242xyxy，解得：3832yx，故本题应选 A。例3、 例 3、 求函数2cos1sinxxy的最值。分析：y 可看成两点)sin,(cosxxP与)1,2(A连线的斜率，其中 A 是定点，动点 P 在圆122 yx上，过点 A 作⊙O的切线 AB、AC（如图），则ABkymin，ACkymax。易求得340ACABkk，，340maxminyy，。例4、 例 4、 求函数124)(22xxxxf的最小值。分析：2222)00()1()20()0()(xxxf)(xf的值是动点)0,(xP到两个定点 A(0,2)与 B(-1,0)的距离之和。由图知（图略），当且仅当 P 与 B 重合（即 x=-1）时，5)1()(min fxf推广：若把动点 P 的活动范围从 x 轴上放宽到整个坐标平面，就可解下面的思考题：求函数1244),(2222xyxyyxyxf的最小值。请读者不妨一试。例 5 、 若 对 于 满 足0222yyx的 一 切 实 数 x ， y ， 不 等 式x+y+m≥0 恒成立，求实数 m 的取值范围。分析：当 x，y 满足0222yyx时，有序实数对（x，y）对应的点是一个圆（如图），要所给不等式恒成立，就是要圆上的所有点都在直线 l：x+y+m=0 的上方（含直线上）即可。显然，极限位置是相切。设直线 l0：x+y+m0=0 是位于圆的下方且与圆相切的直线，可求得，120ml，l0的 y 截距是-m，-m0，故-m≤-m0，即 m≥m0。12 m。思考：已知023sin2cos2mm对一切R恒成立，求实数 m 的取值范围。（答案是 m>2） 关闭