”椭圆、双曲线、抛物线双基过关检测一、选择题1．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，若其上一点P(m,1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为()A．y＝8x2B．y＝16x2C．x2＝8yD．x2＝16y解析：选D根据题意知，点P(m,1)在x轴上方，则抛物线开口向上，设其标准方程为x2＝2py，其准线方程为y＝－，由点P到焦点的距离为5，得1－＝5,解得p＝8，则抛物线的标准方程为x2＝16y.2．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为()A．9B．23C．9或23D．16－或16＋解析：选C由椭圆＋＝1的焦距为2，可得，2＝2或2＝2，解得m＝9或23.3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝()A．9B．8C．7D．6解析：选B抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.4．若双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，满足PF1·PF2＝0的点P依次记为P1，P2，P3，P4，则四边形P1P2P3P4的面积为()A.B．2C.D．2解析：选C设P(x，y)，由已知得F1(－，0)，F2(，0)，则(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－5＋y2＝0，即x2＋y2＝5，与双曲线方程－y2＝1联立，可得交点分别为，，，，它们构成一个长为，宽为的长方形，所以四边形P1P2P3P4的面积为×＝.5．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为()A．y＝±3xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±x解析：选D因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，所以e＝＝，即e2＝＝＝1＋＝10，所以＝3.因为双曲线－＝1的焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选A由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又 |AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.又e＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.7．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.8．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为()A.B.C．1D.解析：选B如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，化简得：(2－)a＋(2＋)a＝4c2，即＋＝4.又 ≥＋＝，∴≤4，即e1·e2≥，∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.二、填空题9．(2017·北京高考)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，所以a＝1，c＝，所以e＝＝，解得m＝2.答案：210．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.解析： 双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.答案：511．与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为__________．解析：由椭圆＋＝1，得a2＝9，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝5，∴该椭圆的焦点坐标为.设所求椭圆方程为＋＝1，a＞b＞0，则c＝，又＝，得a＝5，∴b2＝25－5＝20.∴所求椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝112．(2018·西安中学模拟)如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则AB·DC＝________.解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立解得x＝±2，则A(－2,1)，D(2,1)，因为B(－1,1)，C(1,1)，所以AB＝(1,0)，DC＝(－1,0)，所以AB·DC＝－1.答案：－1三、解答题13．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且函数y＝x2－的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两...
