第三讲 平面向量与复数一、向量有关的概念及运算例 1、已知向量与的对应关系用表示。（1）证明：对于任意向量及常数 m，n 恒有成立；（2）设，求向量及的坐标；（3）求使，（p，q 为常数）的向量的坐标新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆解析：（1）设，则，故，∴（2）由已知得=（1，1），=（0，－1）（3）设=（x，y），则，∴y=p，x=2p－q，即=（2P－q，p）。例 2、已知非零向量与满足= 0 且，则△ABC 为_____________三角形。解：由= 0，知角 A 的平分线垂直于 BC，故△ABC 为等腰三角形，即|AB| = |AC|；由，∴= 600 . 所以△ABC 为等边三角形。例 3、(1)已知, , 与的夹角为 1200，求使与的夹角为锐角的实数 k 的取值范围.(2) 已知，，且与的夹角为钝角，求实数 m 的取值范围.解：(1) == k + (k2 + 1)×1×2×cos1200 + 4k = – k2 + 5k –1 ,用心 爱心 专心1依题意，得 – k2 + 5k –1＞0，∴.又当与同向时，仍有＞0，此时设，显然、不共线，所以，k =, k ==, 取 k ==1.∴且 k≠1 .例 4、如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若，，则m + n =______.解 1：取特殊位置. 设 M 与 B 重合，N 与 C重合，则 m=n=1, 所以 m+n=2.解 2：=， M、O、N 三点共线，∴,∴m + n = 2.解 3：过点 B 作 BE∥AC, 则，.又，∴1– m = n –1, ∴m + n = 2 .二、向量与三角结合例 5、已知 a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a 与 b 之间有关系|ka+b|=|a－kb|，其中 k>0，（1）用 k 表示 a·b;（2）求 a·b 的最小值，并求此时 a·b 的夹角的大小。解 （1）要求用 k 表示 a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得|ka+b|2=(|a－kb|)2k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2a·b = a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，∴a2=1, b2=1,∴a·b ==（2） k2+1≥2k，即≥=用心 爱心 专心2ABCMONE∴a·b 的最小值为，又 a·b =| a|·|b |·cos ，|a|=|b|=1∴=1×1×cos 。∴ =60°,此时 a 与 b 的夹角为 60°。例 6、已知向量,且满足,(1) 求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数;(3)求函数的最小值及取得最...
