专题一 第二讲 函数、基本初等函数的图像与性质一、函数性质1、函数单调性：例 1：已知yaxalog2在01，上是 x 的减函数，则 a 的值取范围是 。 答案：(1, 2)2、函数图象的对称性与周期性例 2：设函数，且在闭区间[0，7]上，只有（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.解: (I) 由于在闭区间[0，7]上，只有，故．若是奇函数，则，矛盾．所以，不是奇函数．由, 从而知函数是以为周期的函数．若是 偶 函 数 ， 则． 又， 从 而．由于对任意的（3，7]上，，又函数的图象的关于对称，所以对区间[7，11）上的任意均有．所以，，这与前面的结论矛盾．所以，函数是非奇非偶函数． (II) 由第(I)小题的解答，我们知道在区间（0，10）有且只有两个解，并且．由于函数是以为周期的函数，故．所以在区间[－2000,2000]上，方程共有个解．在区间[2000,2010]上，方程有且只有两个解．因为，所以，在区间[2000,2005]上，方程有且只有两个解．用心 爱心 专心1Oyx(a,f(a))(b,f(b))图 1在区间[－2010,－2000]上，方程有且只有两个解．因为，所以，在区间[－2005,－2000]上，方程无解． 综上所述，方程在[－2005,2005]上共有 802 个解.二、分段函数：例 3：已知函数11( )3xpf x，22( )2 3xpfx （12,,xR p p为常数）．函数( )f x 定义为：对每个给定的实数 x ，112212( ),( )( )( )( ),( )( )fxfxfxf xfxfxfx若若（1）求1( )( )f xf x对所有实数 x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；（2）设 ,a b 是两个实数，满足ab，且12,( , )p pa b．若 ( )( )f af b，求证：函数( )f x 在区间[ , ]a b 上的单调增区间的长度之和为2ba（闭区间[ , ]m n 的长度定义为nm）解：（1）由( )f x 的定义可知，1( )( )f xf x（对所有实数 x ）等价于 12fxfx（对所有实数 x ）这又等价于1232 3x px p ，即123log 2332xpxp对所有实数 x 均成立. （*） 由 于121212()()()xpxpxpxpppxR的 最 大 值 为12pp， 故（*）等价于1232pp，即123log 2pp，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论 （i）当1232pplog时，由（1）知1( )( )f xf x（对所有实数[ , ]xa b）则由 f ...
