江苏省常州市武进区横山桥高级中学 2013-2014 学年高中数学《第 43课时 空间向量处理角的问题》教学案 新人教 A 版必修 3【基础训练】1.正三棱锥的三个侧面两两垂直,则它的侧棱与底面所成角的余弦值为___________.2.已知正方形 ABCD 的边长为 4,CG平面 ABCD,CG=2,EF 分别为 ABAD 的中点,则点 C 到平面 GEF 的距离为_________.3 如图,已知正三棱柱111ABCA B C的各条棱长都相等,M 是侧棱1CC 的中点,则异面直线1ABBM和所成的角的大小是_______________________ (第 3 题图) (第4 题图)4.如图,若正四棱柱1111ABCDA B C D的底面连长为 2,高为 4,则异面直线1BD 与 AD所成角的正切值_____________5.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为________. 【重点讲解】1.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则 l1 与 l2 所成的 角 θ 满足 cos θ=|cos〈m1,m2〉|.(2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m,n,则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足sin θ=|cos〈m,n〉|.(3)求二面角的大小1°如图①,AB、CD 是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 θ=〈AB,CD〉.2°如图②③,n1,n2分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小θ 满足 cos θ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉.3.点面距的求法1如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 B到平面 α 的距离 d=.【典例分析】例 1.如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形, BAC=90°, AB=AC=2 , AA∠1=2, D , E , F, G 分别为棱 BB1 , CC1 , BC , AA1的中点.(1)求异面直线 FG 与 A1B 所成的角;(2)求锐二面角 A-DE-C 的大小;(3)求直线 BA1与平面 ADE 所成的角.例 2.在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC=2,M、N 分别为 AB、SB 的中点,如图所示. 求点 B 到平面 CMN 的距离.例 3.在四棱锥中,,底面是菱形,.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)若,求与所成角的余弦值;(Ⅲ)当平面2与平面垂直时,求的长. 例4.如图,已知正三棱柱的各棱长都是 4,是的中点,动点在侧棱上,且不与点重合.(Ⅰ)当=1 时,求证:;(Ⅱ)设二面角的大小为...