课时达标检测（二十一）三角恒等变换[——小题对点练点点落实]对点练(一)三角函数的求值1．(2017·山东高考)已知cosx＝，则cos2x＝()A．－B.C．－D.解析：选Dcos2x＝2cos2x－1＝.2．(2018·太原一模)若cos＝－，则cos＋cosα＝()A．－B．±C．－1D．±1解析：选C由cos＋cosα＝cosα＋sinα＋cosα＝cos＝－1，故选C.3．(2018·安徽十校联考)＝()A．－B．－C.D.解析：选C＝＝＝＝sin30°＝.4．(2018·湖南郴州质检)已知x∈(0，π)，sin＝cos2，则tanx＝()A.B．－2C.D.解析：选D由已知，得sincosx－cossinx＝，即cosx－sinx＝－sinx＋，所以cosx＝.因为x∈(0，π)，所以tanx＝.5．(2018·河北唐山一模)已知α为锐角，且cos＝，则cos2α＝()A.B.C．－D．±解析：选A∵0<α<，cos＝>0，∴<α＋<，∴sin＝，∴sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选A.6．(2018·广东广州模拟)设α为锐角，若cos＝，则sin＝()A．－B.C.D.解析：选B因为α为锐角，所以0<α<，则<α＋<，因此sin>0，所以sin＝＝＝.所以sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.7．(2018·荆州一模)计算：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝________.解析：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝sin46°·cos16°－cos46°·sin16°＝sin(46°－16°)＝sin30°＝.答案：8．(2018·洛阳一模)已知sin＝，则cos＝________.解析：cos＝cos＝－cos2＝2sin2－1＝－.答案：－9．(2018·豫北名校联考)计算：＝________.(用数字作答)解析：＝＝＝＝.答案：10．(2018·广东佛山教学质量检测)已知00)的最小正周期为π，则f(x)在区间上的值域为()A.B.C.D.解析：选Af(x)＝sin2ωx＋sinωxsin＝sin2ωx＋sinωxcosωx＝sin2ωx－cos2ωx＋＝sin＋，因为T＝＝＝π，所以ω＝1，即f(x)＝sin＋，当x∈时，2x－∈，所以sin∈，故所求值域为，故选A.3．(2018·江西赣中南五校模拟)已知f(x)＝sin＋cos的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2|的最小值为()A.B.C.D.解析：选Bf(x)＝sin＋cos＝sin2019xcos＋cos2019xsin＋cos2019xcos＋sin2019xsin＝sin2019x＋cos2019x＋cos2019x＋sin2019x＝sin2019x＋cos2019x＝2sin，∴f(x)的最大值为A＝2；由题意，得|x1－x2|的最小值为＝，∴A|x1－x2|的最小值为.故选B.[——大题综合练迁移贯通]1．已知函数f(x)＝(cos2x－sin2x)＋2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设x∈，求f(x)的值域和单调递减区间．解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵x∈，∴≤－2x≤＋π，∴≤－sin≤1.由2kπ≤＋2x≤＋2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴≤x≤.∴x∈时，f(x)的值域为[－，2]，单调递减区间为.2．(2018·安徽合肥质检)已知cos·cos＝－，α∈.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．解：(1)∵coscos＝cossin＝sin＝－，∴sin＝－.∵α∈，∴2α＋∈，∴cos＝－，∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝.(2)∵α∈，∴2α∈.又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－.∴tanα－＝－＝＝－＝－2×＝2.3．已知a＝(sinx，cosx)，b＝(sinx，sinx)，f(x)＝2a·b.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)若g(x)＝f(x)，x∈，画出函数y＝g(x)的图象，讨论y＝g(x)－m(m∈R)的零点个数．解：(1)∵f(x)＝2a·b＝2sin2x＋2sinxcosx＝sin2x－cos2x＋1＝sin＋1，∴函数f(x)的最小正周期T＝π，最大值为f(x)max＝＋1.(2)g(x)＝f(x)，x∈“”，利用五点法列表为：x－－－2x－－－π－0sin0－101y＝sin＋1211－11＋2描点作图如下：函数y＝g(x)－m(m∈R)的零点个数，即函数y＝g(x)的图象与直线y＝m的交点个数．由图可知，当m<1－或m>1＋时，无零点；当m＝1－或m＝1＋时，有1个零点；当1－
