高考达标检测（二十八）基本不等式一、选择题1“．a>0，b>0”“是ab<2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选D因为当a>0，b>0时，2≥ab，所以当a＝b“时，ab<2”不成立，“当ab<2”时，a，b“可以异号，所以a>0，b>0”不一定成立，“故a>0，b>0”“是ab<2”的既不充分也不必要条件．2．已知向量a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是()A．24B．8C.D.解析：选B a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，∴3(1－y)＝2x，即2x＋3y＝3.∴x＋y＝1，∴＋＝＝2＋2≥＋＋4＋2＝8，当且仅当x＝，y＝时取等号，故＋的最小值是8.3．若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为()A.＋B.C.D.＋2解析：选A因为直线ax－by＋2＝0被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，圆的圆心为(－1,2)，半径为2，所以直线ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，则有a＋2b＝2，所以＋＝(a＋2b)≥＝＋，当且仅当＝时，等号成立．故＋的最小值为＋.4．(2018·开封摸底考试)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.D.解析：选B由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4.5．设x>0，y>0且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是()A．40B．10C．4D．2解析：选D x>0，y>0且x＋4y＝40，∴40≥2，即xy≤100，当且仅当x＝4y＝20时取等号．则lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2，因此其最大值是2.6．不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0∞，＋)恒成立，则实数x的取值范围是()A．(－2,0)B．(∞－，－2)∪(0∞，＋)C．(－4,2)D．(∞－，－4)∪(2∞，＋)解析：选C不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0∞，＋)恒成立，等价于x2＋2x1，b>2，≥则＋2＝2＝2，当且仅当＝，即a＝b＝3时，等号成立，故＋的最小值为2.8．(2018·洛阳统考)若正实数x，y，z满足x2＋4y2＝z＋3xy，则当取最大值时，＋－的最大值为()A．2B.C．1D.解析：选D z＝x2＋4y2－3xy，x，y，z∈(0∞，＋)，∴≤＝＝1(当且仅当x＝2y时等号成立)，此时＋－＝－，令＝t>0，则＋－＝t－t2＝－(t－1)2≤＋(当且仅当t＝1时等号成立)．二、填空题9．已知a>0，b>0，圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于直线ax－by－1＝0对称，则＋的最小值为________．解析：由a>0，b>0，圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于直线ax－by－1＝0对称，可得2a＋b－1＝0，所以＋＝(2a＋b)＝＋＋7≥2＋7＝4＋7，当且仅当＝且2a＋b－1＝0，即a＝2－，b＝2－3时取等号．故＋的最小值为7＋4.答案：7＋410．(2018·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2017＝4034，则＋的最小值为________．解析：由等差数列的前n项和公式，得S2017＝＝4034，则a1＋a2017＝4.由等差数列的性质得a9＋a2009＝4，所以＋＝＝＝＋10≥＝4，当且仅当a2009＝3a9时等号成立．故＋的最小值为4.答案：411.如图，动点A在函数y＝(x<0)的图象上，动点B在函数y＝(x>0)的图象上，过点A，B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A1，A2，B1，B2，若|A1B1|＝4，则|A2B2|的最小值为________．解析：设A，B，a<0，b>0，因为|A1B1|＝4，所以b－a＝4，故|A2B2|＝－＝·≥＝(3＋2)，当且仅当b2＝2a2，即a＝4－4，b＝8－4时，|A2B2|取得最小值.答案：12．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：30三、解答题13．已知x>0，y>0，且x＋8y－xy＝0.(1)当x，y分别为何值时，xy取得最小值？(2)当x，y分别为何值时，x＋y取得最小值？解：(1) x>0，y>0...
