高考达标检测（二十三）等差数列的3——考点求项、求和及判定一、选择题1．(2018·厦门一中测试)已知数列{an}中，a2＝，a5＝，且是等差数列，则a7＝()A.B.C.D.解析：选D设等差数列的公差为d，则＝＋3d，即＝＋3d，解得d＝2，所以＝＋5d＝12，解得a7＝.2“．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重”“四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？意思是：现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一”尺各重多少斤？根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤解析：选A依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2.由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．3．(2018·银川一中月考)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，有下列命题：①若S3＝S11，则必有S14＝0；②若S3＝S11，则必有S7是Sn中的最大项；③若S7>S8，则必有S8>S9；④若S7>S8，则必有S6>S9.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选D对于①，若S11－S3＝4(a1＋a14)＝0，即a1＋a14＝0，则S14＝＝0，所以①正确；对于②，当S3＝S11时，易知a7＋a8＝0，又a1>0，d≠0，所以a7>0>a8，故S7是Sn中的最大项，所以②正确；对于③，若S7>S8，则a8<0，那么d<0，可知a9<0，此时S9－S8<0，即S8>S9，所以③正确；对于④，若S7>S8，则a8<0，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以④正确．故选D.4．(2018·大同模拟)在等差数列中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于()A．290B．300C．580D．600解析：选B由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1.由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29，所以S20＝＝10(a2＋a19)＝300.5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为()A．18B．19C．20D．21解析：选D因为{an}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，Sn＝＝＝×32＝16n＝336，解得n＝21.6．设{an}是等差数列，d是其公差，Sn是其前n项和，且S5
S8，则下列结论错误的是()A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．当n＝6或n＝7时Sn取得最大值解析：选C由S50.同理由S7>S8，得a8<0.又S6＝S7，∴a1＋a2…＋＋a6＝a1＋a2…＋＋a6＋a7，∴a7＝0，∴B正确； d＝a7－a6<0，∴A正确；而C选项，S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0，由结论a7＝0，a8<0，知C选项错误； S5S8，∴结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确．故选C.7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则()A．|a7|>|a8|B．|a7|<|a8|C．|a7|＝|a8|D．|a7|＝0解析：选B因为(S8－S5)(S9－S5)<0，所以(a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8＋a9)<0，因为{an}为等差数列，所以a6＋a7＋a8＝3a7，a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)，所以a7(a7＋a8)<0，所以a7与(a7＋a8)异号．又公差d>0，所以a7<0，a8>0，且|a7|<|a8|，故选B.二、填空题8．在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20＝________.解析：由an＋1＝，a1＝2，可得－＝3，所以是以为首项，3为公差的等差数列．所以＝＋3(n－1)，即an＝，所以a20＝.答案：9．数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋2n，则数列{an}的通项公式为________．解析： a1＝1，an＋1＝2an＋2n，∴＝＋，∴数列是首项为＝，公差d＝的等差数列，故＝＋(n－1)×＝n，即an＝n·2n－1.答案：an＝n·2n－110．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，则λ＝________.解析：当S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8时，由等差数列的性质得：S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，∴2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)，∴2(3S4－S4)＝S4＋(λ·3S4－3S4)，解得λ＝2.答案：2三、解答题11．已知数列{an}是等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，a3＋a4＝12.(1)求a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)设bn＝10－an，数列{bn}的前n项和为Sn，若b1≠b2，则n为何值时，Sn最大？Sn最大值是多少？解：(...
