高考达标检测（二十四）等比数列的3——考点基本运算、判定和应用一、选择题1．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝()A．－1B．1C.D．－2解析：选B设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，所以＝1.2．(2018·海口调研)设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为()A.B.C．2D．17解析：选B设{an}的公比为q，依题意得＝＝q3，因此q＝.注意到a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)，即有S8－S4＝q4S4，因此S8＝(q4＋1)S4，＝q4＋1＝.3．在等比数列{an}中，a1，a5为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a3＝()A．4B．5C．±4D．±5解析：选A a1，a5为方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a1＋a5＝10，a1a5＝16，则a1，a5为正数，在等比数列{an}中，a＝a1a5＝16，则a3＝±4， a1，a5为正数，∴a3＝4.4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为()A．－2B．2C．－3D．3解析：选B设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1. ＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.∴＝＝qm＝8＝，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.5．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为()A．126B．130C．132D．134解析：选C设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意可知，lga3＝b3，lga6＝b6.又b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.又{an}为正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且公差d＝－2，b1＝22，∴数列{bn}的前n项和Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n＝－2＋.又n∈N*，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.6．正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得＝4a1，且a6＝a5＋2a4，则＋的最小值是()A.B．2C.D.解析：选A设等比数列{an}的公比为q，其中q>0，于是有a4q2＝a4q＋2a4，即q2－q－2＝0，(q＋1)(q－2)＝0(q>0)，由此解得q＝2.由aman＝16a，得a×2m＋n－2＝16a，故m＋n＝6，其中m，n∈N*，∴＋＝＋(m＋n)≥＝＝，当且仅当＝，即m＝2，n＝4时等号成立，∴＋的最小值为.二、填空题7．已知数列{an}满足a1…，，，，是首项为1，公比为2的等比数列，则a101＝________.解析：因为数列{an}满足a1…，，，，是首项为1，公比为2的等比数列，所以a1＝1，＝2n－1，所以an＝a1···…·＝1×2×22×…×2n－1＝21＋2…＋＋(n－1)＝2-)(12nn，当n＝1时，a1＝1满足上式，故an＝2-)(12nn，所以a101＝2＝25050.答案：250508．(2017·辽宁一模)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.解析：因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，所以＋＋＋＝＝÷＝－.答案：－9．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，关于数列{an}有下列四个命题：①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1(n∈N*)；②若Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，则{an}是等差数列；③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列；④若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n≥2)，则数列{an}是等比数列．其中真命题的序号是________．解析：若{an}既是等差数列又是等比数列，设其前三项分别为：a－d，a，a＋d(d为公差)，则a2＝(a－d)(a＋d)，解得d＝0，因此an＝an＋1(n∈N*)，①正确；由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)是数列{an}为等差数列的充要条件，可知②正确；若Sn＝1－(－1)n，则a1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2(－1)n－1，为等比数列，首项为2，公比为－1，因此③正确；由Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n≥2)，可得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1＝2an，又S1＝1，S2＝2，∴a1＝1，a2＝1，可得a2＝a1，∴数列{an}不是等比数列，④错误．故真命题的序号是①②③.答案：①②③三、解答题10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝(n∈N*)．(1)若数列{an＋t}是等比数列，求t的值；(2)求数列{an}的通项公式.解：(1)当n＝1时，由a1＝＝，得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴a2＝3，a3＝7.依题意，得(3＋t)2＝(1＋t)(7＋t)，解得t＝1，...
