高考达标检测（二十一）平面向量的基本运算一、选择题1.(2018·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是()①PQ＝a＋b；②PT＝a－b；③PS＝a－b；④PR＝a＋b.A．①②B．③④C．①③D．②④解析：选C①根据向量的加法法则，得PQ＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT＝a－b，故②错误；③PS＝PQ＋QS＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④PR＝PQ＋QR＝a＋b－b＝a＋b，故④错误，故选C.2．(2018·长沙一模)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－B.C.D.解析：选AAB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(－2k，－2)． A，B，C三点共线，∴AB，AC共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.3．(2018·嘉兴调研)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选A由OA＋OB＋CO＝0得，OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.4．若OA＝a，OB＝b，a与b不共线，则∠AOB平分线上的向量OM为()A.＋B.C.D.λ，λ由OM确定解析：选D以OM为对角线，以OA，OB方向为邻边作平行四边形OCMD， OM平分∠AOB，∴平行四边形OCMD是菱形．设OC＝OD＝λ，则OC＝λ，OD＝λ，∴OM＝OC＋OD＝λ，且λ由OM确定．5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：选A由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，BE＝BA＋AE＝BA＋AC，CF＝CB＋BF＝CB＋BA，因此AD＋BE＋CF＝CB＋(BC＋AC－AB)＝CB＋BC＝－BC，故AD＋BE＋CF与BC反向平行．6.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，则的值为()A．3B.C．2D.解析：选B利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，易得x＝y＝，则＝.7．(2018·兰州模拟)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝()A.B.C.D.解析：选B因为a∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sinθ)－1×＝0，得sin2θ＝，所以sinθ＝±，故锐角θ＝.8．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足AD＝(AB＋AC)，AP＝AD＋BC，则△APD的面积为()A.B.C.D．2解析：选A法一：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，AE＝(AB＋AC)，又AD＝(AB＋AC)，所以点D是AE的中点，AD＝.取AF＝BC，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知AP＝AD＋BC＝AD＋AF.而△APD是直角三角形，AF＝，所以△APD的面积为××＝.法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 等边三角形ABC的边长为4，∴B(－2，－2)，C(2，－2)，由题知AD＝(AB＋AC)＝[(－2，－2)＋(2，－2)]＝(0，－)，AP＝AD＋BC＝(0，－)＋(4,0)＝，∴△ADP的面积为S＝|AD|·|DP|＝××＝.二、填空题9．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝________.(用e1，e2表示)解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以OC＝AC＝(AB＋AD)＝(DC＋BC)＝(5e1＋3e2)＝e1＋e2.答案：e1＋e210．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD＝xAB＋yAC＋zAS，则x＋y＋z＝________.解析：依题意得BD＝AD－AB＝(AS＋AC)－AB＝－AB＋AC＋AS，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0.答案：011．(2018·贵阳模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，则向量a的坐标是________．解析：设a＝(x，y)， 平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，∴＝1，且x－y＝0，解得x＝y＝±.∴a＝或.答案：或12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示)，若AP＝λED＋μAF，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是________．解析：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，E(1，0)，D(0,1)，F，设P(cosα，sinα)(0°≤α≤90°)， AP＝λED＋μAF，∴(cosα，sinα)＝λ(－1,1)＋μ＝，∴cosα＝－λ＋μ，sinα＝λ＋，∴λ＝(3sinα－cos...
