江苏省白蒲中学2013高一数学 平面向量教案05 苏教版

江苏省白蒲中学 2013 高一数学 平面向量教案 05 苏教版教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1．引入新课：已知非零向量 作出 + + 和( )+( )+( )== + + =3==( )+( )+( )=3 讨论：13 与 方向相同且|3 |=3| | 23 与 方向相反且|3 |=3| |2．从而提出课题：实数与向量的积 实数 λ 与向量 的积，记作：λ定义：实数 λ 与向量 的积是一个向量，记作：λ 1|λ |=|λ|| |2λ>0 时 λ 与 方向相同；λ<0 时 λ 与 方向相反；λ=0 时 λ =3．运算定律：结合律：λ(μ )=(λμ) ①第一分配律：(λ+μ) =λ +μ ②第二分配律：λ( + )=λ +λ ③结合律证明：如果 λ=0，μ=0， = 至少有一个成立，则①式成立如果 λ0，μ0，  有：|λ(μ )|=|λ||μ |=|λ||μ|| ||(λμ) |=|λμ|| |=|λ||μ|| | ∴|λ(μ )|=|(λμ) | 如果 λ、μ 同号，则①式两端向量的方向都与 同向；如果 λ、μ 异号，则①式两端向量的方向都与 反向。 从而 λ(μ )=(λμ)第一分配律证明：如果 λ=0，μ=0， = 至少有一个成立，则②式显然成立如果 λ0，μ0， 当 λ、μ 同号时，则 λ 和 μ 同向，∴|(λ+μ) |=|λ+μ|| |=(|λ|+|μ|)| ||λ +μ |=|λ |+|μ |=|λ|| |+|μ|| |=(|λ|+|μ|)| |∵λ、μ 同号 ∴②两边向量方向都与 同向 即：|(λ+μ) |=|λ +μ | 当 λ、μ 异号，当 λ>μ 时 ②两边向量的方向都与 λ 同向1a a aOABCaaaNMQP当 λ<μ 时 ②两边向量的方向都与 μ 同向还可证：|(λ+μ) |=|λ +μ | ∴② 式成立第二分配律证明：如果 = ， = 中至少有一个成立，或 λ=0，λ=1 则③式显然成立当  ，  且 λ0，λ1 时1当 λ>0 且 λ1 时在平面内任取一点 O，作 λ λ 则+ λ +λ由作法知：∥有OAB=OA1B1 ||=λ||∴λ ∴△OAB∽△OA1B1 ∴λ AOB= A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ| 与 λ方向也相同λ( + )=λ +λ 当 λ<0 时 可类似证明：λ( + )=λ +λ ∴ ③ 式成立4．例一 （见 P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1． 若有向量 (  )、 ，实数 λ，使 =λ 则由实数与向量积的定义知： 与 为共线向量若 与 共线(  )且| |：| |=μ，则当 与 同向时 =μ 当 与 反向时 =μ从而得：向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 λ使 =λ2．例二（P104-105 略）三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题 5.3 1、22OABB1A1AOBB1A1