江苏省白蒲中学2013高一数学 平面向量教案25 苏教版

江苏省白蒲中学 2013 高一数学 平面向量教案 25 苏教版教材：复习四——平面向量的数量积及运算律目的：要求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应用于平行、垂直等问题。过程：一、 复习：1． 定义、其结果是一个数量。2． a•b>00≤<90；a•b=0==90 即 ab；a•b<090<≤1803． 性质 1 —54． 运算律二、 例题：1． 已知|a| = 5，|b| = 8，a 与 b 的夹角为 60，求 |a + b |解：a•b = |a||b|cos60 = 5×8×= 20∴|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = 129∴|a + b | =2． 求证：|a + b |≤|a| + |b|证：|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos ≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = ( |a| + |b| )2 即：|a + b |≤|a| + |b|3． 设非零向量 a、b、c、d，满足 d = (a•c) b  (a•b)c，求证：ad证：内积 a•c 与 a•b 均为实数， ∴a•d = a•[(a•c) b  (a•b)c] = a•[(a•c) b]  a•[(a•b)c]= (a•b)(a•c)  (a•c)(a•b) = 0 ∴ad4． 已知非零向量 a、b，满足 a ±b，求证：ba 垂直于 a+b 的充要条件是|a| = |b|证：由题设：ba 与 a+b 均为非零向量必要性：设 ba 垂直于 a+b，则(ba)(a+b) = 0 又：(ba)(a+b) = b2  a2 = |b|2  |a|2 ∴|b|2  |a|2 = 0 即：|a| = |b|充分性：设|a| = |b|，则(ba)(a+b) = b2  a2 = |b|2  |a|2 = 0即：(ba)(a+b) = 0 ∴(ba)  (a+b)5．已知 a、b 都是非零向量，且 a + 3b 与 7a  5b 垂直， a  4b 与 7a  2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。 解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0 ① (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0 ② 两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2设 a、b 的夹角为，则 cos = ∴ = 601CABDab 6．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。 证：设== a , == b ∵ABCD 为菱形 ∴|a| = |b| ∴= (b + a)(b  a) = b2  a2 = |b|2  |a|2 = 0 ∴7．如图，AD、BE、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD、BE、CF 相交于一点。证：设 BE、CF 交于一点 H，= a, = b, = h,则= h  a , = h  b , = b  a ∵, ∴∴又∵点 D 在 AH 的延长线上，∴AD、BE、CF 相交于一点三、 作业：《导学•创新》 §5.62ABCDEFH