高考达标检测（六十）不等式证明1．已知a，b都是正实数，且a＋b＝2≥，求证：＋1.证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，∴＋－1＝＝＝＝＝＝.∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.∴≥0.∴≥＋1.2．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.3．(2018·云南统一检测)已知a是常数，对任意实数x，不等式|x＋1|－|2－x|≤a≤|x＋1|＋|2－x|都成立．(1)求a的值；(2)设m＞n＞0，求证：2m≥＋2n＋a.解：(1)设f(x)＝|x＋1|－|2－x|，则f(x)＝∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x，|x＋1|－|2－x|≤a都成立，即f(x)≤a，∴a≥3.设h(x)＝|x＋1|＋|2－x|，则h(x)＝则h(x)的最小值为3.∵对任意实数x，|x＋1|＋|2－x|≥a都成立，即h(x)≥a，∴a≤3.∴a＝3.(2)证明：由(1)知a＝3.∵2m＋－2n＝(m－n)＋(m－n)＋，且m＞n＞0，∴(m－n)＋(m－n)＋≥3＝3.∴2m≥＋2n＋a.4．已知x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1.(1)求＋＋的最小值；(2)求证：x2＋y2＋z2≥.解：(1)∵x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1，∴＋＋＝(x＋2y＋3z)＝6＋＋＋＋＋＋≥6＋2＋2＋2，当且仅当＝且＝且＝时取等号．(2)由柯西不等式可得1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．故x2＋y2＋z2≥.5．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|.(1)若f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab.解：(1)由绝对值不等式的性质知f(x)＝|x|＋|x－1|≥|x－x＋1|＝1，∴f(x)min＝1，∴只需|m－1|≤1，即－1≤m－1≤1，∴0≤m≤2，∴实数m的最大值M＝2.(2)证明：∵a2＋b2≥2ab，且a2＋b2＝2，∴ab≤1，∴≤1，当且仅当a＝b时取等号．①≤又，∴≤，∴≤，当且仅当a＝b时取等号．②由①②≤得，，∴a＋b≥2ab.6．(2018·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋2n≥4.解：(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4.①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；②当1＜x＜2时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，不等式的解集为∅；③当x≤1时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，解得x≤－.综上可得，不等式的解集为∪.(2)证明：∵f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]，∴解得a＝1，所以＋＝1(m>0，n>0)，所以m＋2n＝(m＋2n)＝2≥＋＋2＋2＝4，当且仅当m＝2，n＝1时取等号．7．已知a，b，c，d均为正数，且ad＝bc.(1)证明：若a＋d>b＋c，则|a－d|>|b－c|；(2)若t··＝＋，求实数t的取值范围．解：(1)证明：由a＋d>b＋c，且a，b，c，d均为正数，得(a＋d)2>(b＋c)2，又ad＝bc，所以(a－d)2>(b－c)2，即|a－d|>|b－c|.(2)因为(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，所以t··＝t(ac＋bd)．≥由于ac,≥bd，又已知t··＝＋，则t(ac＋bd)≥(ac＋bd)，故t≥，当且仅当a＝c，b＝d时取等号．所以实数t的取值范围为[∞，＋)．8．已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；(2)若|a|<1，|b|<1，a≠0，求证：>f.解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|＝当x<－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；当－3≤x<时，－x＋4≥8无解；当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为∪[2∞，＋)．(2)证明：>f等价于f(ab)>|a|f，即|ab－1|>|a－b|.因为|a|<1，|b|<1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0，所以|ab－1|>|a－b|.故所证不等式成立.
