5.2异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断命题角度1两条异面直线所成的角高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析以DA,DC,DD1为轴建立空间直角坐标系如图,则D1(0,0,),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,).∴=(-1,0,),=(1,1,).设异面直线AD1与DB1所成的角为θ.∴cosθ=.∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.2.(2017全国Ⅱ·10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.由题意可知BC1=,AB1=,则MN=AB1=,NP=BC1=.取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知△PQM为直角三角形.在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+1-2×2×1×=7,即AC=.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=AC=.在△MQP中,可知MP=.在△PMN中,cos∠PNM==-,又异面直线所成角的范围为,故所求角的余弦值为.方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为∠BC1D.由题意可知BC1=,BD=,C1D=AB1=.可知B+BD2=C1D2,所以cos∠BC1D=,故选C.3.(2016全国Ⅰ·11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案A解析(方法一) α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1. α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角. △B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为.(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为.4.(2017全国Ⅲ·16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)答案②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=.又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.新题演练提能·刷高分1.(2018百校联盟全国联考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,AB=2,∠BAD=60°,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,F,F分别为PD,CD的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案B解析如图,取AD的中点O,连接OP,OB,由题意可得PO⊥平面ABCD.在△AOB中,OA=1,AB=2,∠OAB=60°,则由余弦定理得OB=,所以OB⊥AD,因此可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),E-,0,,B(0,,0),F-,0,∴=-,0,,=-,-,0,∴cos<>=.∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为.选B.2.(2018陕西质量检测)已知△ABC与△BCD均为正三角形,且AB=4.若平面ABC与平面BCD垂直,且异面直线AB和CD所成角为θ,则cosθ=()A.-B.C.-D.答案D解析如图,设等边三角形的边长为4. 等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,∴取BC中点O,则AO⊥BC⊥OD,以O为原点,建立如图空间直角坐标系O-xyz.则A(0,0,2),B(0,-2,0),C(0,2,0),D(2,0,0),∴=(0,-2,-2),=(2,-2,0),故cos<>=,∴异面直线AB和CD所成角的余弦值为,故选D.3.(2018贵州凯里模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中...
