第二讲 数学归纳法题型(一)用数学归纳法证明等式主要考查利用数学归纳法证明与正整数有关的代数等式. [典例感悟][例 1] 设|θ|<，n 为正整数，数列{an}的通项公式 an＝sintannθ，其前 n 项和为 Sn.(1)求证：当 n 为偶数时，an＝0；当 n 为奇数时，an＝(－1)tannθ；(2)求证：对任何正整数 n，S2n＝sin 2θ·[1＋(－1)n＋1tan2nθ]．[证明] (1)因为 an＝sintannθ.当 n 为偶数时，设 n＝2k，k∈N*，an＝a2k＝sintan2kθ＝sin kπ·tan2kθ＝0，an＝0.当 n 为奇数时，设 n＝2k－1，k∈N*，an＝a2k－1＝sintannθ＝sin·tannθ.当 k＝2m，m∈N*时，an＝a2k－1＝sin·tannθ＝sin·tannθ＝－tannθ，此时＝2m－1，an＝a2k－1＝－tannθ＝(－1)2m－1·tannθ＝(－1)tannθ.当 k＝2m－1，m∈N*时，an＝a2k－1＝sin·tannθ＝sin·tannθ＝tannθ，此时＝2m－2，an＝a2k－1＝tannθ＝(－1)2m－2·tannθ＝(－1)tannθ.综上，当 n 为偶数时，an＝0；当 n 为奇数时，an＝(－1)tannθ.(2)当 n＝1 时，由(1)得，S2＝a1＋a2＝tan θ，等式右边＝sin 2θ(1＋tan2θ)＝sin θ·cos θ·＝tan θ.故 n＝1 时，命题成立，假设 n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立，即 S2k＝sin 2θ·[1＋(－1)k＋1tan2kθ]．当 n＝k＋1 时，由(1)得：S2(k＋1)＝S2k＋a2k＋1＋a2k＋2＝S2k＋a2k＋1＝sin 2θ·＋(－1)ktan2k＋1θ＝sin 2θ·＝sin 2θ·＝sin 2θ·＝sin 2θ·[1＋(－1)k＋2·tan2k＋2θ ]．即当 n＝k＋1 时命题成立. 综上所述，对任何正整数 n，S2n＝sin 2θ·[1＋(－1)n＋1tan2nθ]．[方法技巧](1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值 n0的值．(2)由 n＝k 到 n＝k＋1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．[演练冲关](2018·苏州期末)在正整数集 N*上定义函数 y＝f(n)，满足 f(n)[f(n＋1)＋1]＝2[2－f(n＋1)]，且 f(1)＝2.(1)求证：f(3)－f(2)＝；(2)是否存在实数 a，b，使得 f(n)＝＋1 对任意正整数 n 恒成立，并证明你的结论．解：(1)证明：由 f(n)[f(n＋1)＋1]＝2[2－f(n＋1)]，变形得 f(n＋1)＝.由 f(1)＝2，得 f(2)＝，再得 f(3)＝.所以 f(3)－f(2)＝－＝.(2)法一：(数学归纳法)由 f(2)＝，f(3)＝，可得 a＝－，b＝.猜想...
