第 2 讲 导数及其应用[考情考向分析] 1.导数的几何意义和导数运算是导数应用的基础，曲线的切线问题是江苏高考的热点，要求是 B 级. 2.利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B 级．热点一 函数图象的切线问题例 1 已知函数 f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求 a，b 的值；(2)若曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值范围．解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得 b＝0，a＝－3 或 a＝1.(2)因为曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，所以关于 x 的方程 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0 有两个不相等的实数根，所以 Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即 4a2＋4a＋1＞0，解得 a≠－.所以 a 的取值范围是∪.思维升华 解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，先使用曲线上点的横坐标表示切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系．跟踪演练 1 (1)(2018·常州期末)已知函数 f(x)＝bx＋ln x，其中 b∈R，若过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y＝f(x)相切，则 k－b 的值为________．答案 解析 因为 f(x)＝bx＋ln x(x＞0)，所以 f′(x)＝b＋，设过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y＝f(x)相切于点(x0，bx0＋ln x0)，则切线方程为 y－(bx0＋ln x0)＝(x－x0)，因为该切线过原点，所以－(bx0＋ln x0)＝－，解得 ln x0＝1，x0＝e，所以 k＝b＋，故 k－b＝.(2)(2018·江苏泰州中学月考)若曲线 y＝x2与曲线 y＝aln x 在它们的公共点 P(s，t)处具有公共切线，则实数 a 的值为________．答案 1解析 两曲线的导数分别是 y′＝x，y′＝ ，因为在 P 处有公切线，所以＝且＝aln s，解得 a＝1.热点二 利用导数研究函数的单调性例 2 已知函数 f(x)＝2ln x＋bx，直线 y＝2x－2 与曲线 y＝f(x)相切于点 P.(1)求点 P 的坐标及 b 的值；(2)若函数 g(x)＝x－(a>0)，讨论函数 h(x)＝g(x)－f(x)的单调区间．解 (1)设 P(x0，y0)为直线 y＝2x－2 与曲线 y＝f(x)的切点坐标，则有 2ln x0＋bx0＝2x0－2.①因为 f′(x)＝＋b(x＞0)，所以＋b＝2.②联立①②解得 b＝0，x0＝1，则切点 P(1,0)，b＝0.(2)由(1)知 f(x)＝2ln x，则 h(x)＝g(x)－f(x)＝x－－2ln x(x>0)．求导得 h′(x)＝1＋－＝(x>0)．令 y＝x2－2x＋a(x＞0)．① 若 Δ＝4－4a≤0，即 a≥1...
