规范答题示例 3 导数与不等式典例 3 (16 分)已知函数 f(x)＝ax2ln x＋bx＋1.(1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 x－2y＋1＝0，求 f(x)的单调区间；(2)若 a＝2，且关于 x 的方程 f(x)＝1 在上恰有两个不等的实根，求实数 b 的取值范围；(3)若 a＝2，b＝－1，当 x≥1 时，关于 x 的不等式 f(x)≥t(x－1)2恒成立，求实数 t 的取值范围．(其中 e 是自然对数的底数，e＝2.718 28…)审题路线图 →→→→规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板解 (1)f′(x)＝axln x＋ax＋b，由题意知 f′(1)＝a＋b＝，且 f(1)＝b＋1＝1.2 分∴a＝1，b＝0，此时 f′(x)＝xln x＋x(x>0)，令 f′(x)＝xln x＋x>0，得 x>，令 f′(x)＝xln x＋x<0，得 0时，h′(x)＝2xln x＋x－1－2t(x－1)，令 φ(x)＝2xln x＋x－1－2t(x－1)，则 φ′(x)＝2ln x＋3－2t，令 φ′(x)＝2ln x＋3－2t＝0，得 x＝ >1，当 1≤x<时，φ′(x)<0，∴φ(x)单调递减，φ(x)≤φ(1)＝0，即 h′(x)≤0，∴h(x)单调递减，∴当 1
