江苏省邳州市第二中学高三数学复习：第 57 课时 空间直线学案 苏教版一．复习目标：1．了解空间两条直线的位置关系．2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长．二．课前预习：1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面其中真命题个数为 （ D ）3 2 1 02．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（ A ）300 450 600 3．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为________________．（答案：）4．两条异面直线、间的距离是 1cm，它们所成的角为 600，、上各有一点 A、B，距公垂线的垂足都是 10cm，则 A、B 两点间的距离为____________________．答案：三．例题分析：例 1．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．证一：（反证法）假设 AD 和 BC 共面，所确定的平面为 α，那么点 P、A、B、C、D 都在平面 α 内，∴直线 a、b、c 都在平面 α 内，与已知条件 a、b、c 不共面矛盾，假设不成立，∴AD 和 BC 是异面直线。证二：（直接证法） a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为 α，由已知 C平面 α，B∈平面 α，AD平面 α，BAD，∴AD 和BC 是异面直线。小结：例 2．在三棱台中，侧棱⊥底面，且，．（1）求证：，，．（2）求异面直线和的距离．（1）略证，先证 BC⊥平面 AA1B1B，即得 BC⊥A1B，BC⊥A1A，又 A1A⊥A1C（已知），由三垂线定理的逆定理可知，A1A⊥A1B（2）略解，由（1）知，A1A⊥A1B，A1B⊥BC，∴A1B 就是 A1A 和 BC 的公垂线段。但△AA1B∽△BB1A1，∴，又 AB=2cm，A1B1=1cm，∴A1B=cm。小结：例 3． 一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB 与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角解：（1）连 BC、AD，可证 AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300，∠BAD=450 ，Rt△ACB 中，BC=AB·cos300= ，在 Rt△ADB 中，BD=AB·sin450= 在 Rt△BCD 中，可求出 CD=1cm（也可由 AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·BD·cos900求得）（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，则∠ABE 就是 AB 与 CD 所成的角，连 AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，先求出 AE=，再在 Rt△ABE 中，求得∠ABE=60 0。说明：在...
